Правильный выпуклый многогранник. Правильные многогранники: элементы, симметрия и площадь

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Многогранники. Вершины, ребра, грани многогранника. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. 10 класс Выполнила: Кайгородова С.В.

Правильным называется многогранник, у которого все грани являются правильными многоугольниками, и все многогранные углы при вершинах равны.

С глубокой древности человеку известны пять удивительных многогранников

По числу граней их называют правильный тетраэдр

гексаэдр (шестигранник) или куб

октаэдр (восьмигранник)

додекаэдр (двенадцатигранник)

икосаэдр (двадцатигранник)

Развертки правильных многогранников

Историческая справка Четыре сущности природы были известны человечеству: огонь, вода, земля и воздух. По мнению Платона, их атомы имели вид правильных многогранников Великий древнегреческий философ Платон, живший в IV – V вв. до нашей эры, считал, что эти тела олицетворяют сущность природы.

атом огня имел вид тетраэдра, земли – гексаэдра (куба) воздуха – октаэдра воды - икосаэдра

Но оставался додекаэдр, которому не было соответствия Платон предположил, что существует ещё одна(пятая) сущность. Он назвал её мировым эфиром. Атомы этой пятой сущности и имели вид додекаэдра. Платон и его ученики в своих работах большое внимание уделяли перечисленным многогранникам. Поэтому эти многогранники называют также платоновыми телами.

Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение: Г+В-Р=2, где Г -число граней, В -число вершин, Р - число ребер данного многогранника. Грани + Вершины - Рёбра = 2. Теорема Эйлера

Характеристики правильных многогранников Многогранник Число сторон грани Число граней, сходящихся в каждой вершине Число граней (Г) Число ребер (Р) Число вершин (В) Тетраэдр 3 3 4 6 4 Гексаэдр 4 3 6 12 8 Октаэдр 3 4 8 12 6 Икосаэдр 3 5 20 30 12 Додекаэдр 5 3 12 30 20

Двойственность правильных многогранников Гексаэдр (куб) и октаэдр образуют двойственную пару многогранников. Число граней одного многогранника равно числу вершин другого и наоборот.

Возьмем любой куб и рассмотрим многогранник с вершинами в центрах его граней. Как нетрудно убедиться, получим октаэдр.

Центры граней октаэдра служат вершинами куба.

Сурьменистый сернокислый натрий – тетраэдра. Многогранники в природе, химии и биологии Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Кристалл пирита - природная модель додекаэдр. Кристаллы поваренной соли передают форму куб. Монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра. Хрусталь (призма) Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. В процессе деления яйцеклетки сначала образуется тетраэдр из четырех клеток, затем октаэдр, куб и, наконец, додекаэдро-икосаэдрическая структура гаструлы. И наконец, самое, пожалуй, главное – структура ДНК генетического кода жизни – представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра! В молекуле метана имеет форму правильного тетраэдра.

Многогранники в искусстве «Портрет Монны Лизы» Композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. гравюра « Меланхолия» На переднем плане картины изображен додекаэдр. «Тайная Вечеря» Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдр.

Многогранники в архитектуре Музеи Плодов в Яманаши создан с помощью трехмерного моделирования. Четырехъярусная Спасская башня с церковью Спаса Нерукотворного - главный въезд в Казанский кремль. Возведена в XVI веке псковскими зодчими Иваном Ширяем и Постником Яковлевым по прозванию «Барма». Четыре яруса башни представляют из себя куб, многогранники и пирамиду. Спасская башня Кремля. Александрийский маяк Пирамиды Музеи Плодов

Урок 7 по теме: «Многогранники. Вершины, ребра, грани многогранника»

Цель занятия: познакомить обучающихся с одним из видов многогранников – кубом; путём измерения и наблюдения найти как можно больше свойств куба.

Тип урока: изучение нового материала

Методы:

По источникам знаний: словесные, наглядные;

По степени взаимодействия учитель-ученик: эвристическая беседа;

Относительно дидактических задач: подготовка к восприятию;

Относительно характера познавательной деятельности: репродуктивный, частично-поисковый.

Оборудование: Учебник: Математика: Наглядная геометрия. 5-6 классы И.Ф. Шарыгин , мультимедиа проектор, компьютер.

Результаты обучения:

Личностные: способность к эмоциональному восприятию математических объектов, умение ясно и точно излагать свои мысли.

Метапредметные: умение понимать и использовать средства наглядности.

Предметные: научиться изображать развертки и составлять с их помощью фигуры.

Оборудование: учебник «Наглядная геометрия. 5 - 6 класс» С.Шарыгин, интерактивная доска, ножницы.

УУД:

познавательные: анализ и классификация объектов

регулятивные: целеполагание; определение и осознание того, что уже известно и что нужно усвоить

коммуникативные: учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.

Ход урока

Организационный момент.

Актуализация и фиксирование опорных знаний.

На столе стоят многогранники, с которыми учащиеся познакомились еще в начальных классах. Какие фигуры вы можете назвать? Каких фигур больше всего?

Трудно найти человека, которому бы не был знаком куб. Ведь кубики – любимая игра малышей. Кажется, что мы знаем о кубе всё. Но так ли это?

Куб является представителем большого семейства многогранников. С некоторыми вы уже встречались – это пирамида, прямоугольный параллелепипед. Знакомство с другими вас ожидает впереди.

Многогранники имеют при всем различии ряд общих свойств.

Поверхность каждого из них состоит из плоских многоугольников, которые называются гранями многогранника . Два соседних плоских многоугольника имеют общую сторону – ребро многогранника . Концы ребер являются вершинами многогранника.

На прошлом уроке вы интересовались видами многогранников и вот 5 представителей правильных многоугольников.

Тетраэдр октаэдр икосаэдр гексаэдр додекаэдр

Обобщение и систематизация знаний

Рассмотрите изображение куба на рисунке, перечертите его в тетрадь и подпишите названия основных элементов куба. Запомните и в дальнейшем используйте эти термины.

Куб- это правильный многогранник, у которого грани – квадраты и в каждой вершине сходится по три ребра и три грани. У него: 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

Работа с моделями.

Работа с развертками.

№ 2 (Математика: Наглядная геометрия. 5-6 классы И.Ф. Шарыгин) На листке бумаги изобразите развертку куба. Вырежьте её и сверните из нее куб, склейте его.

Вырезанная фигура называется разверткой куба . Подумайте, почему она так названа.

№ 3 (Математика: Наглядная геометрия. 5-6 классы И.Ф. Шарыгин) Из предложенных разверток попробуйте собрать куб, и перенесите их в тетрадь.

№ 5 (Математика: Наглядная геометрия. 5-6 классы И.Ф. Шарыгин) Дана развертка куба. Какие из кубиков на рисунке 30, а-в можно из нее склеить? Выберите кубик и обоснуйте выбор.

№ 12 (Математика: Наглядная геометрия. 5-6 классы И.Ф. Шарыгин) Имеется полоска бумаги размером 1*7. Как из нее сложить единичный кубик?

№ 15 (Математика: Наглядная геометрия. 5-6 классы И.Ф. Шарыгин) В противоположных вершинах куба сидят паук и муха. Каким кратчайшим путем паук может доползти до мухи? Ответ объясните

Рефлексия учебной деятельности.

сегодня я узнал…

было интересно…

было трудно…

я выполнял задания…

я приобрел…

я научился…

у меня получилось …

я смог…

я попробую…

меня удивило…

урок дал мне для жизни…

Домашнее задание. Изготовить модель куба из картона.

Многогранники не только занимают видное место в геометрии, но и встречаются в повседневной жизни каждого человека. Не говоря уже об искусственно созданных предметах обихода в виде различных многоугольников, начиная со спичечного коробка и заканчивая архитектурными элементами, в природе также встречаются кристаллы в форме куба (соль), призмы (хрусталь), пирамиды (шеелит), октаэдра (алмаз) и т. д.

Понятие многогранника, виды многогранников в геометрии

Геометрия как наука содержит раздел стереометрию, изучающую характеристики и свойства объёмных тела, стороны которых в трёхмерном пространстве образованы ограниченными плоскостями (гранями), носят название "многогранники". Виды многогранников насчитывают не один десяток представителей, отличающихся количеством и формой граней.

Тем не менее у всех многогранников есть общие свойства:

1. Все они имеют 3 неотъемлемых компонента: грань (поверхность многоугольника), вершина (углы, образовавшиеся в местах соединения граней), ребро (сторона фигуры или отрезок, образованный в месте стыка двух граней).
2. Каждое ребро многоугольника соединяет две, и только две грани, которые по отношению друг к другу являются смежными.
3. Выпуклость означает, что тело полностью расположено только по одну сторону плоскости, на которой лежит одна из граней. Правило применимо ко всем граням многогранника. Такие геометрические фигуры в стереометрии называют термином выпуклые многогранники. Исключение составляют звёздчатые многогранники, которые являются производными правильных многогранных геометрических тел.

Многогранники можно условно разделить на:

1. Виды выпуклых многогранников, состоящих из следующих классов: обычные или классические (призма, пирамида, параллелепипед), правильные (также называемые Платоновыми телами), полуправильные (второе название - Архимедовы тела).
2. Невыпуклые многогранники (звёздчатые).

Призма и её свойства

Стереометрия как раздел геометрии изучает свойства трёхмерных фигур, виды многогранников (призма в их числе). Призмой называют геометрическое тело, которое имеет обязательно две совершенно одинаковые грани (их также называют основаниями), лежащие в параллельных плоскостях, и n-ое число боковых граней в виде параллелограммов. В свою очередь, призма имеет также несколько разновидностей, в числе которых такие виды многогранников, как:

1. Параллелепипед - образуется, если в основании лежит параллелограмм - многоугольник с 2 парами равных противоположных углов и двумя парами конгруэнтных противоположных сторон.
2. Прямая призма имеет перпендикулярные к основанию рёбра.
3. характеризуется наличием непрямых углов (отличных от 90) между гранями и основанием.
4. Правильная призма характеризуется основаниями в виде с равными боковыми гранями.

Основные свойства призмы:

• Конгруэнтные основания.
• Все рёбра призмы равны и параллельны по отношению друг к другу.
• Все боковые грани имеют форму параллелограмма.

Пирамида

Пирамидой называют геометрическое тело, которое состоит из одного основания и из n-го числа треугольных граней, соединяющихся в одной точке - вершине. Следует отметить, что если боковые грани пирамиды представлены обязательно треугольниками, то в основании может быть как треугольный многоугольник, так и четырёхугольник, и пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название пирамиды будет соответствовать многоугольнику в основании. Например, если в основании пирамиды лежит треугольник - это , четырёхугольник - четырёхугольная, и т. д.

Пирамиды - это конусоподобные многогранники. Виды многогранников этой группы, кроме вышеперечисленных, включают также следующих представителей:

1. Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник, и высота ее проектируется в центр окружности, вписанной в основание или описанной вокруг него.
2. Прямоугольная пирамида образуется тогда, когда одно из боковых рёбер пересекается с основанием под прямым углом. В таком случае это ребро справедливо также назвать высотой пирамиды.

Свойства пирамиды:

• В случае если все боковые рёбра пирамиды конгруэнтны (одинаковой высоты), то все они пересекаются с основанием под одним углом, а вокруг основания можно прочертить окружность с центром, совпадающим с проекцией вершины пирамиды.
• Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то все боковые рёбра конгруэнтны, а грани являются равнобедренными треугольниками.

Правильный многогранник: виды и свойства многогранников

В стереометрии особое место занимают геометрические тела с абсолютно равными между собой гранями, в вершинах которых соединяется одинаковое количество рёбер. Эти тела получили название Платоновы тела, или правильные многогранники. Виды многогранников с такими свойствами насчитывают всего пять фигур:

1. Тетраэдр.
2. Гексаэдр.
3. Октаэдр.
4. Додекаэдр.
5. Икосаэдр.

Своим названием правильные многогранники обязаны древнегреческому философу Платону, описавшему эти геометрические тела в своих трудах и связавшему их с природными стихиями: земли, воды, огня, воздуха. Пятой фигуре присуждали сходство со строением Вселенной. По его мнению, атомы природных стихий по форме напоминают виды правильных многогранников. Благодаря своему самому захватывающему свойству - симметричности, эти геометрические тела представляли большой интерес не только для древних математиков и философов, но и для архитекторов, художников и скульпторов всех времён. Наличие всего лишь 5 видов многогранников с абсолютной симметрией считалось фундаментальной находкой, им даже присуждали связь с божественным началом.

Гексаэдр и его свойства

В форме шестигранника преемники Платона предполагали сходство со строением атомов земли. Конечно же, в настоящее время эта гипотеза полностью опровергнута, что, однако, не мешает фигурам и в современности привлекать умы известных деятелей своей эстетичностью.

В геометрии гексаэдр, он же куб, считается частным случаем параллелепипеда, который, в свою очередь, является разновидностью призмы. Соответственно и свойства куба связаны со с той лишь разницей, что все грани и углы куба равны между собой. Из этого вытекают следующие свойства:

1. Все рёбра куба конгруэнтны и лежат в параллельных плоскостях по отношению друг к другу.
2. Все грани - конгруэнтные квадраты (всего в кубе их 6), любой из которых может быть принят за основание.
3. Все межгранные углы равны 90.
4. Из каждой вершины исходит равное количество рёбер, а именно 3.
5. Куб имеет 9 которые все пересекаются в точке пересечения диагоналей гексаэдра, именуемой центром симметрии.

Тетраэдр

Тетраэдр - это четырёхгранник с равными гранями в форме треугольников, каждая из вершин которых является точкой соединения трёх граней.

Свойства правильного тетраэдра:

1. Все грани тетраэда - это из чего следует, что все грани четырёхгранника конгруэнтны.
2. Так как основание представлено правильной геометрической фигурой, то есть имеет равные стороны, то и грани тетраэдра сходятся под одинаковым углом, то есть все углы равны.
3. Сумма плоских углов при каждой из вершин равняется 180, так как все углы равны, то любой угол правильного четырёхгранника составляет 60.
4. Каждая из вершин проецируется в точку пересечения высот противоположной (ортоцентр) грани.

Октаэдр и его свойства

Описывая виды правильных многогранников, нельзя не отметить такой объект, как октаэдр, который визуально можно представить в виде двух склеенных основаниями четырёхугольных правильных пирамид.

Свойства октаэдра:

1. Само название геометрического тела подсказывает количество его граней. Восьмигранник состоит из 8 конгруэнтных равносторонних треугольников, в каждой из вершин которого сходится равное количество граней, а именно 4.
2. Так как все грани октаэдра равны, равны и его межгранные углы, каждый из которых равняется 60, а сумма плоских углов любой из вершин составляет, таким образом, 240.

Додекаэдр

Если представить, что все грани геометрического тела представляют собой правильный пятиугольник, то получится додекаэдр - фигура из 12 многоугольников.

Свойства додекаэдра:

1. В каждой вершине пересекаются по три грани.
2. Все грани равны и имеют одинаковую длину рёбер, а также равную площадь.
3. У додекаэдра 15 осей и плоскостей симметрии, причём любая из них проходит через вершину грани и середину противоположного ей ребра.

Икосаэдр

Не менее интересная, чем додекаэдр, фигура икосаэдр представляет собой объёмное геометрическое тело с 20 равными гранями. Среди свойств правильного двадцатигранника можно отметить следующие:

1. Все грани икосаэдра - равнобедренные треугольники.
2. В каждой вершине многогранника сходится пять граней, и сумма смежных углов вершины составляет 300.
3. Икосаэдр имеет так же, как и додекаэдр, 15 осей и плоскостей симметрии, проходящих через середины противоположных граней.

Полуправильные многоугольники

Кроме Платоновых тел, в группу выпуклых многогранников входят также Архимедовы тела, которые представляют собой усечённые правильные многогранники. Виды многогранников данной группы обладают следующими свойствами:

1. Геометрические тела имеют попарно равные грани нескольких типов, например, усечённый тетраэдр имеет так же, как и правильный тетраэдр, 8 граней, но в случае Архимедова тела 4 грани будут треугольной формы и 4 - шестиугольной.
2. Все углы одной вершины конгруэнтны.

Звёздчатые многогранники

Представители необъёмных видов геометрических тел - звёздчатые многогранники, грани которых пересекаются друг с другом. Они могут быть образованы путём слияния двух правильных трёхмерных тел либо в результате продолжения их граней.

Таким образом, известны такие звёздчатые многогранники, как: звёздчатые формы октаэдра, додекаэдра, икосаэдра, кубооктаэдра, икосододекаэдра.

Правильными называют выпуклые многогранники, все грани которых представляют собой одинаковые правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое количество граней. Такие многогранники называют также платоновыми телами.

Существует всего пять правильных многогранников:

Название каждого многогранника происходит от греческого названия количества его граней и слова "грань".

Тетраэдр

Тетраэдр (греч. фефсбедспн -- четырёхгранник) -- многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой из вершин которого сходятся по 3 грани. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

Свойства тетраэдра

Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.

Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины.

Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра.

Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.

Теорема. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.

Выделяют:

• · равногранный тетраэдр, у которого все грани - равные между собой треугольники;
• · ортоцентрический тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке;
• · прямоугольный тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой;
• · правильный тетраэдр, у которого все грани - равносторонние треугольники;
• · каркасный тетраэдр -- тетраэдр, отвечающий любому из условий:
• · Существует сфера, касающаяся всех ребер.
• · Суммы длин скрещивающихся ребер равны.
• · Суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны.
• · Окружности, вписанные в грани, попарно касаются.
• · Все четырехугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, -- описанные.
• · Перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.
• · соразмерный тетраэдр, все бивысоты которого равны;
• · инцентрический тетраэдр, у которого отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Куб или правильный гексаэдр -- правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы.

Свойства куба

• · Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками -- эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его главным диагоналям.
• · В куб можно вписать тетраэдр двумя способами. В обоих случаях четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба и все шесть рёбер тетраэдра будут принадлежать граням куба. В первом случае все вершины тетраэдра принадлежат граням трехгранного угла, вершина которого совпадает с одной из вершин куба. Во втором случае попарно скрещивающиеся ребра тетраэдра принадлежат попарно противолежащим граням куба. Такой тетраэдр является правильным.
• · В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
• · Куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.
• · В куб можно вписать икосаэдр, при этом шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра -- внутри куба. Все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.

Диагональю куба называют отрезок, соединяющий две вершины, симметричные относительно центра куба. Диагональ куба находится по формуле

многогранник икосаэдр октаэдр додекаэдр

где d -- диагональ, а -- ребро куба.

Октаэдр

Октаэдр (греч. пкфЬедспн, от греч. пкфю, «восемь» и греч. Эдсб -- «основание») -- один из пяти выпуклых правильных многогранников, так называемых Платоновых тел.

Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.

Если длина ребра октаэдра равна а, то площадь его полной поверхности (S) и объём октаэдра (V) вычисляются по формулам:

Радиус сферы, описанной вокруг октаэдра, равен:

радиус вписанной в октаэдр сферы может быть вычислен по формуле:

Правильный октаэдр имеет симметрию Oh, совпадающую с симметрией куба.

Октаэдр имеет одну звездчатую форму. Октаэдр был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером, и назван им Stella octangula -- звезда восьмиугольная. Отсюда эта форма имеет и второе название «stella octangula Кеплера».

По сути она является соединением двух тетраэдров

Додекаэдр

Додекаэдр (от греч. дюдекб -- двенадцать и едспн -- грань), двенадцатигранник -- правильный многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.

Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра). Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°.

Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр (звёздчатый большой додекаэдр, завершающая форма). Первые две из них были открыты Кеплером (1619), третья -- Пуансо (1809). В отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением платоновых тел, а образует новый многогранник.

Все 3 звёздчатые формы додекаэдра, вместе с большим икосаэдром образуют семейство тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых (звёздчатых) многогранников.

У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые, сходятся по пять в каждой из вершин. У малого звёздчатого и большого звёздчатого додекаэдров грани - пятиконечные звёзды (пентаграммы), которые в первом случае сходятся по 5, а во втором по 3. Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.

Основные формулы:

Если за длину ребра принять a, то площадь поверхности додекаэдра:

Объем додекаэдра:

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Элементы симметрии додекаэдра:

· Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии.

Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер.

· Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

Икосаэдр

Икосаэдр (от греч. ейкпуЬт -- двадцать; -едспн -- грань, лицо, основание) -- правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин -- 12.

Площадь S, объём V икосаэдра с длиной ребра a, а также радиусы вписанной и описанной сфер вычисляются по формулам:

радиус вписанной сферы:

радиус описанной сферы:

Свойства

• · Икосаэдр можно вписать в куб, при этом, шесть взаимно перпендикулярных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.
• · В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
• · Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при этом вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
• · В икосаэдр можно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра.
• · Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12?5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12?5=90.

Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией. Одна из этих звёздчатых форм (20-я, мод. 41 по Веннинджеру), называемая большим икосаэдром, является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера--Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.

Среди звёздчатых форм также имеются: соединение пяти октаэдров, соединение пяти тетраэдров, соединение десяти тетраэдров.

Геометрия прекрасна тем, что, в отличие от алгебры, где не всегда понятно, что и зачем считаешь, дает наглядность объекта. Этот удивительный мир различных тел украшают собой правильные многогранники.

Общие сведения о правильных многогранниках

По мнению многих, правильные многогранники, или как их еще называют Платоновы тела, обладают неповторимыми свойствами. С этими объектами связано несколько научных гипотез. Когда начинаешь изучать данные геометрические тела, понимаешь, что практически ничего не знаешь о таком понятии, как правильные многогранники. Презентация этих объектов в школе не всегда проходит интересно, поэтому многие даже и не помнят, как они называются. В памяти большинства людей остается только куб. Ни одни тела в геометрии не обладают таким совершенством, как правильные многогранники. Все названия этих геометрических тел произошли из Древней Греции. Они означают количество граней: тетраэдр - четырехгранный, гексаэдр - шестигранный, октаэдр - восьмигранный, додекаэдр - двенадцатигранный, икосаэдр - двадцатигранный. Все эти геометрические тела занимали важнейшее место в концепции Платона о мироздании. Четыре из них олицетворяли стихии или сущности: тетраэдр - огонь, икосаэдр - воду, куб - землю, октаэдр - воздух. Додекаэдр воплощал все сущее. Он считался главным, поскольку был символом мироздания.

Обобщение понятия многогранника

Многогранником является совокупность конечного числа многоугольников такая, что:

• каждая из сторон любого из многоугольников является одновременно и стороной только одного другого многоугольника по той же стороне;
• от каждого из многоугольников можно дойти до других переходя по смежным с ним многоугольникам.

Многоугольники, составляющие многогранник, представляют собой его грани, а их стороны - ребра. Вершинами многогранников являются вершины многоугольников. Если под понятием многоугольник понимают плоские замкнутые ломаные, то приходят к одному определению многогранника. В том случае, когда под этим понятием подразумевают часть плоскости, что ограничена ломаными линиями, то следует понимать поверхность, состоящую из многоугольных кусочков. называют тело, лежащее по одну сторону плоскости, прилегающей к его грани.

Другое определение многогранника и его элементов

Многогранником называют поверхность, состоящую из многоугольников, которая ограничивает геометрическое тело. Они бывают:

• невыпуклыми;
• выпуклыми (правильные и неправильные).

Правильный многогранник - это выпуклый многогранник с максимальной симметрией. Элементы правильных многогранников:

• тетраэдр: 6 ребер, 4 грани, 5 вершин;
• гексаэдр (куб): 12, 6, 8;
• додекаэдр: 30, 12, 20;
• октаэдр: 12, 8, 6;
• икосаэдр: 30, 20, 12.

Теорема Эйлера

Она устанавливает связь между числом ребер, вершин и граней, топологически эквивалентных сфере. Складывая количество вершин и граней (В + Г) у различных правильных многогранников и сравнивая их с количеством ребер, можно установить одну закономерность: сумма количества граней и вершин равняется числу ребер (Р), увеличенному на 2. Можно вывести простую формулу:

• В + Г = Р + 2.

Эта формула верна для всех выпуклых многогранников.

Основные определения

Понятие правильного многогранника невозможно описать одним предложением. Оно более многозначное и объемное. Чтобы тело было признано таковым, необходимо, чтобы оно отвечало ряду определений. Так, геометрическое тело будет являться правильным многогранником при выполнении таких условий:

• оно выпуклое;
• одинаковое количество ребер сходится в каждой из его вершин;
• все грани его - правильные многоугольники, равные друг другу;
• все его равны.

Свойства правильных многогранников

Существует 5 разных типов правильных многогранников:

1. Куб (гексаэдр) - у него плоский угол при вершине составляет 90°. Он имеет 3-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины составляет 270°.
2. Тетраэдр - плоский угол при вершине - 60°. Он имеет 3-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины - 180°.
3. Октаэдр - плоский угол при вершине - 60°. Он имеет 4-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины - 240°.
4. Додекаэдр - плоский угол при вершине 108°. Он имеет 3-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины - 324°.
5. Икосаэдр - у него плоский угол при вершине - 60°. Он имеет 5-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины составляет 300°.

Площадь поверхности этих геометрических тел (S) вычисляется, как площадь правильного многоугольника, умноженная на количество его граней (G):

• S = (a: 2) х 2G ctg π/p.

Объем правильного многогранника

Эта величина вычисляется путем умножения объема правильной пирамиды, в основании которой находится правильный многоугольник, на число граней, а высота ее является радиусом вписанной сферы (r):

• V = 1: 3rS.

Объемы правильных многогранников

Как и любое другое геометрическое тело, правильные многогранники имеют различные объемы. Ниже представлены формулы, по которым можно их вычислить:

• тетраэдр: α х 3√2: 12;
• октаэдр: α х 3√2: 3;
• икосаэдр; α х 3;
• гексаэдр (куб): 5 х α х 3 х (3 + √5) : 12;
• додекаэдр: α х 3 (15 + 7√5) : 4.

Гексаэдр и октаэдр являются дуальными геометрическими телами. Иными словами, они могут получиться друг из друга в том случае, если центр тяжести грани одного принимается за вершину другого, и наоборот. Также дуальными являются икосаэдр и додекаэдр. Сам себе дуален только тетраэдр. По способу Евклида можно получить додекаэдр из гексаэдра с помощью построения «крыш» на гранях куба. Вершинами тетраэдра будут любые 4 вершины куба, не смежные попарно по ребру. Из гексаэдра (куба) можно получить и другие правильные многогранники. Несмотря на то что есть бесчисленное множество, правильных многогранников существует всего 5.

Радиусы правильных многоугольников

С каждым из этих геометрических тел связаны 3 концентрические сферы:

• описанная, проходящая через его вершины;
• вписанная, касающаяся каждой его грани в центре ее;
• срединная, касающаяся всех ребер в середине.

Радиус сферы описанной рассчитывается по такой формуле:

• R = a: 2 х tg π/g х tg θ: 2.

Радиус сферы вписанной вычисляется по формуле:

• R = a: 2 х ctg π/p х tg θ: 2,

где θ - двухгранный угол, который находится между смежными гранями.

Радиус сферы срединной можно вычислить по следующей формуле:

• ρ = a cos π/p: 2 sin π/h,

где h величина = 4,6 ,6,10 или 10. Отношение описанных и вписанных радиусов симметрично относительно p и q. Оно рассчитывается по формуле:

• R/r = tg π/p х tg π/q.

Симметрия многогранников

Симметрия правильных многогранников вызывает основной интерес к этим геометрическим телам. Под ней понимают такое движение тела в пространстве, которое оставляет одно и то же количество вершин, граней и ребер. Другими словами, под действием преобразования симметрии ребро, вершина, грань или сохраняет свое первоначальное положение, или перемещается в исходное положение другого ребра, другой вершины или грани.

Элементы симметрии правильных многогранников свойственны всем видам таких геометрических тел. Здесь речь ведется о тождественном преобразовании, которое оставляет любую из точек в исходном положении. Так, при повороте многоугольной призмы можно получить несколько симметрий. Любая из них может быть представлена как произведение отражений. Симметрию, которая является произведением четного количества отражений, называют прямой. Если же она является произведением нечетного количества отражений, то ее называют обратной. Таким образом, все повороты вокруг прямой представляют собой прямую симметрию. Любое отражение многогранника - это обратная симметрия.

Чтобы лучше разобраться в элементах симметрии правильных многогранников, можно взять пример тетраэдра. Любая прямая, которая будет проходить через одну из вершин и центр этой геометрической фигуры, будет проходить и через центр грани, противоположной ей. Каждый из поворотов на 120 и 240° вокруг прямой принадлежит к множественному числу симметрий тетраэдра. Поскольку у него по 4 вершины и грани, то получается всего восемь прямых симметрий. Любая из прямых, проходящих через середину ребра и центр этого тела, проходит через середину его противоположного ребра. Любой поворот на 180°, называемый полуоборотом, вокруг прямой является симметрией. Поскольку у тетраэдра есть три пары ребер, то получится еще три прямые симметрии. Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод, что общее число прямых симметрий, и в том числе тождественное преобразование, будет доходить до двенадцати. Других прямых симметрий у тетраэдра не существует, но при этом у него есть 12 обратных симметрий. Следовательно, тетраэдр характеризуется всего 24 симметриями. Для наглядности можно построить модель правильного тетраэдра из картона и убедиться, что это геометрическое тело действительно имеет всего 24 симметрии.

Додекаэдр и икосаэдр - наиболее близкие к сфере тела. Икосаэдр обладает наибольшим числом граней, наибольшим и плотнее всего может прижаться к вписанной сфере. Додекаэдр обладает наименьшим угловым дефектом, наибольшим телесным углом при вершине. Он может максимально заполнить свою описанную сферу.

Развертки многогранников

Правильные которых мы все склеивали в детстве, имеют много понятий. Если есть совокупность многоугольников, каждая сторона которых отождествлена с только одной стороной многогранника, то отождествление сторон должно соответствовать двум условиям:

• от каждого многоугольника можно перейти по многоугольникам, имеющим отождествленную сторону;
• отождествляемые стороны должны иметь одинаковую длину.

Именно совокупность многоугольников, которые удовлетворяют эти условия, и называется разверткой многогранника. Каждое из этих тел имеет их несколько. Так, например, у куба их насчитывается 11 штук.