Золотое сечение и как его применяют. Что такое золотое сечение

Каждый человек, сталкивающийся с геометрией объектов в пространстве, хорошо знаком с методом золотого сечения. Его применяют в искусстве, дизайне интерьеров и архитектуре. Еще в прошлом столетии золотое сечение оказалось таким популярным, что теперь многие сторонники мистического видения мира дали ему другое название - универсальное гармоническое правило. Особенности этого метода стоит рассмотреть подробнее. Это поможет узнать, почему он пользуется интересом сразу в нескольких сферах деятельности - искусстве, архитектуре, дизайне.

Суть универсальной пропорции

Принцип золотого сечения является всего лишь зависимостью чисел. Однако многие относятся к нему предвзято, приписывая этому явлению какие-то мистические силы. Причина кроется в необычных свойствах правила:

• Многие живые объекты обладают пропорциями туловища и конечностей, приближенными к показаниям золотого сечения.
• Зависимости 1,62 или 0,63 определяют отношения размеров лишь для живых существ. Объекты, относящиеся к неживой природе, очень редко соответствуют значению гармонического правила.
• Золотые пропорции строения туловища живых существ представляют собой неотъемлемое условие выживания многих биологических видов.

Золотое сечение можно найти в строении тел различных животных, стволов деревьев и корней кустарников. Сторонники универсальности этого принципа стараются доказать, что его значения жизненно важны для представителей живого мира.

Можно объяснить метод золотого сечения, используя образ куриного яйца. Отношение отрезков от точек скорлупы, в равной степени удаленных от центра тяжести, равно показателю золотого сечения. Самым важным для выживания птиц показателем яйца является именно его форма, а не прочность скорлупы.

Важно! Золотое сечение рассчитано на основе измерений множества живых объектов.

Происхождение золотого сечения

Об универсальном правиле было известно еще математикам Древней Греции. Ее использовал Пифагор и Евклид. В известном архитектурном шедевре - пирамиде Хеопса отношение размеров основной части и длины сторон, а также барельефов и декоративных деталей соответствуют гармоническому правилу.

Метод золотого сечения взяли на вооружение не только архитекторы, но и художники. Тайна гармонической пропорции считалась одной из величайших загадок.

Первым, документально заверившим универсальную геометрическую пропорцию, был монах-францисканец Лука Пачоли. Его способности к математике были блестящи. Широкое признание золотое сечение получило после публикации результатов исследований золотого сечения Цейзинга. Он изучал пропорции тела человека, древние памятники скульптуры, растения.

Как рассчитали золотое сечение

Разобраться, что такое золотое сечение, поможет объяснение, основанное на длинах отрезков. К примеру, внутри большого находится несколько маленьких. Тогда длины небольших отрезков относятся к общей длине большого отрезка, как 0,62. Такое определение помогает разобраться, на сколько частей можно поделить определенную линию, чтобы она соответствовала гармоническому правилу. Еще один плюс использования этого метода - можно узнать, каким должно быть отношение самого большого отрезка к длине всего объекта. Это соотношение равняется 1,62.

Такие данные можно представить, как пропорции измеряемых объектов. Сначала их выискивали, подбирая опытным путем. Однако теперь точные соотношения известны, поэтому построить объект в соответствии с ними не составит труда. Золотое сечение находят такими путями:

• Построить прямоугольный треугольник. Разбить одну из его сторон, а затем провести перпендикуляры с секущими дугами. При проведении вычислений следует от одного конца отрезка построить перпендикуляр, равный ½ его длины. Затем достраивают прямоугольный треугольник. Если отметить точку на гипотенузе, которая покажет длину перпендикулярного отрезка, то радиус, равняющийся оставшейся части линии, рассечет основание на две половины. Получившиеся линии будут соотноситься друг с другом согласно золотому сечению.
• Универсальные геометрические значения получают и другим способом - выстраивая пентаграмму Дюрера. Она является звездой, которая помещена в окружность. В ней находится 4 отрезка, длины которых соответствуют правилу золотого сечения.
• В архитектуре гармоническая пропорция применяется в модифицированном виде. Для этого прямоугольный треугольник следует разбивать по гипотенузе.

Важно! Если сравнивать с классическим понятием метода золотого сечения, версия для архитекторов имеет соотношение 44:56.

Если в традиционном толковании гармонического правила для графики, его рассчитывали как 37:63, то для архитектурных сооружений чаще использовали 44:56. Это обусловлено необходимостью сооружать высотные постройки.

Секрет золотого сечения

Если в случае с живыми объектами золотое сечение, проявляющееся в пропорциях тела людей и животных можно объяснить необходимостью приспосабливаться к среде, то в использование правила оптимальных пропорций в 12 веке для постройки домов было в новинку.

Парфенон, сохранившийся со времен Древней Греции, был возведен по методу золотого сечения. Множество замков вельмож средних веков создавали с параметрами, соответствующими гармоническому правилу.

Золотое сечение в архитектуре

Множество построек древности, которые сохранились до сих пор, служат подтверждением тому, что архитекторы из эпохи средневековья были знакомы с гармоническим правилом. Очень хорошо заметно стремление соблюсти гармоническую пропорцию при сооружении церквей, значимых общественных зданий, резиденций королевских особ.

К примеру, собор Парижской Богоматери возведен таким образом, что многие из его участков соотносится с правилом золотого сечения. Можно найти немало произведений архитектуры 18 века, которые были построены в согласии с этим правилом. Правило применяли и многие русские архитекторы. Среди них был и М. Казаков, который создавал проекты усадеб и жилых зданий. Он проектировал здание сената и Голицынскую больницу.

Естественно, дома с таким отношением частей возводили и до открытия правила золотого сечения. Например, к таким зданиям относится церковь Покрова на Нерли. Красота здания приобретает еще большую загадочность, если учесть, что здание покровской церкви было возведено в XVIII веке. Однако современный вид постройка приобрела после реставрации.

В трудах о золотом сечении упоминается, что в архитектуре восприятие объектов зависит от того, кто наблюдает. Пропорции, образованные при помощи золотого сечения, дают максимально спокойное соотношение частей строения относительно друг друга.

Ярким представителем из ряда строений, соответствующих универсальному правилу, является памятник архитектуры Парфенон, возведенный еще в пятом веке до н. э. Парфенон устроен с восьмью колоннами по меньшим фасадам и с семнадцатью - по большим. Храм возведен из благородного мрамора. Благодаря этому использование раскраски ограничено. Высота строения относится к его длине 0,618. Если разделить Парфенон по пропорциям золотого сечения, получатся определенные выступы фасада.

Все эти сооружения имеют одно сходство - гармоничность сочетания форм и отменное качество строительства. Это объясняется использованием гармонического правила.

Важность золотого сечения для человека

Архитектура древних построек и средневековых домов довольно интересна и для дизайнеров современности. Это объясняется такими причинами:

• Благодаря оригинальному оформлению домов можно не допустить надоевших штампов. Каждое такое здание является архитектурным шедевром.
• Массовое применение правила для украшения скульптур и статуй.
• Благодаря соблюдению гармонических пропорций взгляд притягивается к более важным деталям.

Важно! При создании проекта постройки и создании внешнего облика архитекторы средневековья применяли универсальные пропорции, опираясь на закономерности человеческого восприятия.

Сегодня психологи пришли к выводу, что принцип золотого сечения — не что иное, как человеческая реакция на определенное соотношение размеров и форм. В одном эксперименте группе испытуемых предложили согнуть бумажный лист таким образом, чтобы стороны получились с оптимальными пропорциями. В 85 результатах из 100 люди сгибали лист практически в точном соответствии с гармоническим правилом.

Как утверждают современные ученые, показатели золотого сечения относятся скорее к сфере психологии, нежели характеризуют закономерности физического мира. Это объясняет, почему к нему проявляется такой интерес со стороны мистификаторов. Однако при построении объектов согласно этому правилу человек воспринимает их более комфортно.

Использование золотого сечения в дизайне

Принципы использования универсальной пропорции все чаще используют при строительстве частных домов. Особое внимание уделяется соблюдению оптимальных пропорций конструкции. Немало внимания уделяют правильному распределению внимания внутри дома.

Современная интерпретация золотого сечения уже не относится лишь к правилам геометрии и формы. Сегодня принципу гармонических пропорций подчиняются не только размеры деталей фасада, площадь комнат или длины фронтонов, но и цветовая палитра, используемая при создании интерьера.

Соорудить гармоничное строение на модульном основании гораздо проще. Многие отделения и помещения в этом случае выполняются как отдельные блоки. Они проектируются в строгом соответствии с гармоническим правилом. Возвести здание как набор отдельных модулей, значительной проще, чем создавать единую коробку.

Многие фирмы, занимающиеся сооружением загородных домов, при создании проекта соблюдают гармоническое правило. Это позволяет создать у клиентов впечатление, что конструкция здания детально проработана. Такие дома обычно описывают, как наиболее гармоничные и комфортные в использовании. При оптимальном выборе площадей комнат жильцы психологически ощущают успокоение.

Если дом возведен без учета гармонических пропорций, можно создать планировку, которая будет по соотношению размеров стен приближена к показателю 1:1,61. Для этого в комнатах устанавливают дополнительные перегородки, или переставляют предметы мебели.

Аналогично меняют габариты дверей и окон таким образом, чтобы проем имел ширину, показатель которой меньше значения высоты в 1,61 раза.

Сложнее подбирать цветовые решения. В этом случае можно соблюдать упрощенное значение золотого сечения - 2/3. Основным цветовым фоном следует занять 60% пространства комнаты. Оттеняющий оттенок занимает 30% помещения. Оставшаяся площадь поверхностей закрашивается близкими друг к другу тонами, усиливающими восприятие выбранного цвета.

Внутренние стены комнат делят горизонтальной полосой. Ее располагают в 70 см от пола. Высота мебели должна находиться в гармоническом соотношении с высотой стен. Это правило относится и к распределению длин. К примеру, диван должен иметь габариты, которые бы оказались не меньше 2/3 длины простенка. Площадь помещения, которая занята предметами мебели, тоже должна иметь определенное значение. Она относится к общей площади всего помещения как 1:1,61.

Золотая пропорция сложно применима на практике ввиду наличия всего одного числа. Именно поэтому. Проектирую гармоничные строения, пользуются рядом чисел Фибоначчи. Благодаря этому обеспечивается разнообразие вариантов форм и пропорций деталей строения. Ряд чисел Фибоначчи также носит название золотого. Все значения строго соответствуют определенной математической зависимости.

Кроме ряда Фибоначчи, в современной архитектуре применяют и другой метод проектирования - принцип, заложенный французским архитектором Ле Корбюзье. При выборе этого способа отправной единицей измерения выступает рост владельца дома. Исходя из этого показателя рассчитывают размеры здания и внутренних помещений. Благодаря этому подходу дом получается не только гармоничным, но и приобретает индивидуальность.

Любой интерьер приобретет более завершенный вид, если в нем использовать карнизы. При использовании универсальных пропорций можно вычислить его размер. Оптимальными показателями являются 22,5, 14 и 8,5 см. Устанавливать карниз следует по правилам золотого сечения. Маленькая сторона декоративного элемента должна относиться к большей так, как относится к сложенным значениям двух сторон. Если большая сторона будет равна 14 см, то маленькую стоит сделать 8,5 см.

Придать помещению уюта можно путем деления стеновых поверхностей при помощи гипсовых зеркал. Если стена поделена бордюром, от оставшейся большей части стены следует отнять высоту карнизной планки. Для создания зеркала оптимальной длины от бордюра и карниза следует отступить одинаковое расстояние.

Заключение

Дома, построенные по принципу золотого сечения, действительно получаются очень удобными. Однако цена постройки таких строений довольно высока, поскольку стоимость стройматериалов ввиду нетипичных размеров увеличивается на 70%. Этот подход совершенно не нов, поскольку большинство домов прошлого века создавали исходя из параметров хозяев.

Благодаря использованию метода золотого сечения в строительстве и дизайне здания получаются не только комфортабельными, но и долговечными. Они выглядят гармонично и привлекательно. Интерьер тоже оформляют по универсальной пропорции. Это позволяет грамотно использовать пространство.

В таких комнатах человек ощущает себя максимально комфортно. Соорудить дом с использованием принципа золотого сечения можно самостоятельно. Главное - рассчитать нагрузки на элементы строения, и правильно выбрать материалы.

Метод золотого сечения используют в дизайне интерьера, размещая в комнате декоративные элементы определенных размеров. Это позволяет придать помещению уюта. Цветовые решения тоже выбирают в соответствии с универсальными гармоническими пропорциями.

1. Понятие гармонии Вот как пишет о гармонии Алексей Петрович Стахов , доктор технических наук (1972 г.), профессор (1974 г.), академик Академии инженерных наук Украины ( www . goldenmuseum . com ). "С давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами. Уже предметы обихода жителей древности, которые, казалось бы, преследовали чисто утилитарную цель - служить хранилищем воды, оружием на охоте и т.д., демонстрируют стремление человека к красоте. На определенном этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, прекрасного , сформировалось в самостоятельную ветвь науки - эстетику, которая у античных философов была неотделима от космологии. Тогда же родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония. Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый - красоту в истине. Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэмы... Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой ноктюрна? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов - от цветка ромашки до красоты обнаженного человеческого тела?.....". Известный итальянский теоретик архитектуры Леон-Баттиста Альберти, написавший много книг о зодчестве, говорил о гармонии следующее:

"Есть нечто большее, слагающееся из сочетания и связи трех вещей (числа, ограничения и размещения), нечто, чем чудесно озаряется весь лик красоты. Это мы называем гармонией, которая, без сомнения, источник всякой прелести и красоты. Ведь назначение и цель гармонии - упорядочить части, вообще говоря, различные по природе, неким совершенным соотношением так, чтобы они одна другой соответствовали, создавая красоту... Она охватывает всю жизнь человеческую, пронизывает всю природу вещей. Ибо все, что производит природа, все это соизмеряется законом гармонии. И нет у природы большей заботы, чем та, чтобы произведенное ею было совершенным. Этого никак не достичь без гармонии, ибо без нее распадается высшее согласие частей".

В Большой Советской Энциклопедии дается следующее определение понятия "гармония":

"Гармония - соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в единое органическое целое. В гармонии получают внешнее выявление внутренняя упорядоченность и мера бытия".

"Формул красоты" уже известно немало. Уже давно в своих творениях люди предпочитают правильные геометрические формы - квадрат, круг, равнобедренный треугольник, пирамиду и т.д. В пропорциях сооружений отдаются предпочтение целочисленным соотношениям. Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Эту пропорцию называли по разному - "золотой", "божественной", "золотым сечением", "золотым числом", "золотой серединой".

рис. 1 "Золотая пропорция" - это понятие математическое и ее изучение - это прежде всего задача науки. Но она же является критерием гармонии и красоты, а это уже категория искусства и эстетики. И наш Музей, который посвящен изучению этого уникального феномена, является, несомненно, научным музеем, посвященным изучению гармонии и красоты с математической точки зрения". На сайте А. П. Стахова ( www . goldenmuseum . com ) приводится много интересной и поучительной информации о замечательных свойствах золотого сечения. И это не удивительно. С понятием «золотое сечение» связывают гармонию Природы. При этом с гармонией, как правило, связывают принципы симметрии в живой и неживой Природе. Поэтому всеобщностью проявления принципа золотого сечения сегодня уже никого не удивишь. И каждое новое открытие в сфере выявления еще одной золотой пропорции уже никого не поражает, разве что самого автора такого открытия. Всеобщность этого принципа ни у кого не вызывает сомнения. В различных справочниках приводятся сотни формул, связывающих ряд Фибоначчи с золотым сечением, в том числе и ряд формул, отражающих взаимодействия в мире элементарных частиц . Среди этих формул хочется отметить одну- бином Ньютона для золотой пропорции где - число перестановок. А бином Ньютона, как известно, отражает степенную функцию двойственного отношения. Данная формула привязывает бином золотого отношения к Единице. Без этого принципа, по сути дела, нельзя рассмотреть ни одной фундаментальной проблемы. В милогии эта пропорция обоснована как принцип самодостаточности. И все же несмотря на всеобщность золотая пропорция на практике используется далеко не всегда, и не везде. 2 . МОНАДА И ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ Принципы симметрии лежат в основе теории относительности, квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики, физики элементарных частиц. Выше было показано, что симметрия - это одна из форм проявления двойственности. Поэтому нет ничего удивительного в том, что эти принципы наиболее ярко выражаются в свойствах инвариантности законов природы.В показано, что симметрия и асимметрия не просто взаимосвязаны друг с другом, а они являются разными формами проявления закономерности двойственности. Закономерность двойственности является одним из основных механизмов эволюции живой и неживой материи. Действительно, способность к размножению у живых организмов можно естественно объяснить только тем, что в процессе своего развития организм полностью достраивает свою оболочку и попытка дальнейшего усложнения структуры приводит, в силу закономерности об ограниченности и замкнутости, к трансформации из организма с внутренней двойственностью в организм с внешней двойственностью, т. е. удвоению, которое осуществляется путем деления оригинала. Затем процесс повторяется. Закономерность двойственности является ответственной за создание дублирующих органов в живом организме. Это дублирование не является следствием эволюции живых организмов. В основе золотого сечения лежитпростая пропорция, которая хорошо видна на рисунке золотой спирали: Правила золотого сечения были известны еще в Вавилонии и древнем Египте. Пропорции пирамиды Хеопса, предметов из гробницы Тутанхамона, других произведений древнего искусства красноречиво об этом свидетельствуют, а сам термин “золотое сечение” принадлежит Леонардо да Винчи. С тех пор многие шедевры искусства, архитектуры и музыки выполняются при неукоснительном соблюдении золотой пропорции, несомненно отражающей строение наших сенсорных оболочек – глаз и ушей, головного мозга – анализатора геометрических, цветовых, световых, звуковых и других образов. Золотое сечение обладает еще одной тайной. Оно скрывает в себе свойство самонормирования . Академик Толкачев В.К. в своей книге "Роскошь системного мышления" так пишет об этом важном свойстве золотого сечения: «Когда-то Клавдий Птолемей разделил равномерно рост человека на 21 отрезок и выделил две основные части: большую (мажор), состоящую из 13-и отрезков, и меньшую (минор) - из 8-и. При этом оказалось, что отношение длины всей фигуры человека к длине ее большей части равно отношению большей части к меньшей.... Проиллюстрировать золотое отношение можно следующим образом. Если единичный отрезок разделить на две неравные части (мажор и минор) так, что длина всего отрезка (т.е. мажор + минор = 1) относится к мажору точно так же, как мажор относится к минору: (мажор + минор) / мажор = мажор / минор = Ф, то такая задача имеет решение в виде корней уравнения х 2 - х - 1 =0, численное значение которых: х 1 = - 0,618033989..., х 2 = 1,618033989..., Первый корень обозначается буквой " Ф ", а второй " - Ф ", но мы будем пользоваться иными обозначениями: Ф =1,618033989..., а Ф -1 = 0,618033989... Это - единственное число, которое обладает свойством быть ровно на единицу больше своего обратного отношения". Отметим, что другое уравнение х 2 - y - 1 = xy превращается в тождество при следующих значениях х 1 = + 0,618033989..., y 1 =- 1,618033989..., x 2 = -1,618033989..., y 2 = 0,618033989..., Может быть в совокупности эти корни и порождают животворящий крест - крест золотого сечения? Уравнение золотого сечения Ф 2 -Ф=1 где Ф 1 = -Ф -1 = - 0,618033989..., и Ф 2 = Ф 1 =1,618033989..., удовлетворяют свойству самонормирования , позволяющее строить более сложные "конструкции" по " образу и подобию ". Подставляя корни в уравнение х ( х-1)=1, мы получим Ф 1 (Ф 1 -1)= 1,618..*1,618..-1,618..=2,618..-1,618..=1 Ф -2 -(-Ф -1)=0,382...+0,6181=1. Таким образом, данное уравнение отражает не только принцип самонормирования , вытекающего из Единого закона эволюции двойственного отношения (монады), но и связь золотого сечения с биномом Ньютона (с монадой). Нетрудно показать, что будут справедливы следующие тождества Ф -2 =0,382...; Ф -1 =0,618...; Ф 1 =1,618...; Ф 2 =2,618...; Откуда непосредственно можно увидеть, что корни уравнения Ф 2 -Ф=1 обладают еще и другим и замечательными свойствами Ф 1 Ф -1 =Ф 0 =1 и Ф -1 (Ф 1 -1)= 1-Ф -1 ; Ф 1 (Ф -1 -1)=1-Ф 1 =1; Оно характеризует инвариантность одной математической монады в другую, путем умножения её на обратную величину, т.е. можно сказать, что корни уравнения золотого сечения сами формируют золотую, самонормированную монаду <Ф -1 ,Ф 1 > . Поэтому данное уравнение по праву можно назвать уравнением золотого сечения. Дополнительные свойства этого уравнения может узнать каждый, используя бином Ньютона и производящие функции (Преемственность ). Нетрудно понять, что процесс все более сложных "золотых монад" будет осуществляться "по образу и подобию" , т.е. этот процесс будет периодически повторяющимся, а все результаты оказываются как бы замкнутыми в рамки золотого сечения. Но, пожалуй, самые замечательные свойства золотого сечения связаны, в первую очередь, с уравнением золотого сечения, приведенным выше. Это уравнение является двойственным х 2 + х - 1 =0. Корни этого уравнения численно равны: х 1 = + 0,618033989..., х 2 = -1,618033989..., Это значит, что уравнения золотого сечения формируют крест золотого сечения с перекладинами

рис. 2

Вот он, поистине золотой крест, лежащий в основе мироздания! На правом рисунке непосредственно видно, что значения выражения в полюсах вертикальной перекладины равны 1. Из креста на левом рисунке видно также, что при каждом переходе с одной перекладины на вторую осуществляются самонормировки . Самонормировка происходит как при сложении, так и при умножении. Разница получается только в знаке. И это не случайно . При движении по перекладинам мы получаем еще четыре значения · при сложении : 0 и 0 , · при умножении : -0,382 .., и -2,618 . Нетрудно показать, что будут справедливы следующие тождества Ф -2 =0,382...; Ф -1 =0,618...; Ф 1 =1,618...; Ф 2 =2,618...; Используя ряд этих значений, и совершая обход по кресту мы получим еще один золотосеченный крест. Нетрудно показать, как из этих крестов, сформировать двойной крест, порождающий закон Куба.

рис. 3

Ниже мы покажем, что шесть полученных значений полностью вписываются в рамки сложного отношения - уникальной закономерности, известной из проективной геометрии. А сейчас мы приведем еще один рисунок, который непосредственно говорит о связи золотого сечения и Куба Закона. рис. 4 Сравните этот рисунок, нарисованный еще Леонардо да Винчи, с предыдущим. Увидели? Поэтому гимн золотому сечению можно продолжать до бесконечности. Так итальянский математик Лука Пачолли в своем труде "Божественная пропорция" приводит 13 свойств золотого сечения, снабжая каждое из них эпитетами - исключительное, несказанное, замечательнейшее, сверхъестественное, и т.д. Трудно сказать, связаны ли эти свойства с числом 13 или нет. Но вот хроматическая гамма связана и с числом 13, и с числом 8. Так, пропорцию 13/8 можно представить как 8/8+5/8. С этими пропорциями связываются и многие духовные знания (Путь к себе ). 3. РЯДЫ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ Из вышеприведенных свойств золотого сечения следует вывод, что ряд ...; Ф -2 =0,382...; Ф -1 =0,618...; Ф 0 ; Ф 1 =1,618...; Ф 2 =2,618...; ...; может быть продолжен как вправо, так и влево. Более того, умножение это ряда на Ф + n или Ф - n порождает новый ряд, сдвинутый соответственно вправо или влево от исходного. Коэффициенты Ф + n или Ф - n можно считать коэффициентами подобия золотосеченных рядов. Золотосеченные ряды могут формировать натуральный ряд целых чисел.
Посмотрите, эти числа имеют удивительные свойства. Они формируют не только Великие Пределы двойственных"з олотых монад". Они формируют Великие Пределы триад (числа 5, 8,..). Они формируют и крест (число 9). Но существуют и другие, более фундаментальные золотосеченные ряды. В первую очередь следует привести формулу "золотого" бинома Ньютона. Бином Ньютона уже изначально свидетельствует о существовании монады (двойственного отношения) и его свойства лежат в основе биномиальных рядов (арифметический треугольник и др.). Теперь можно сказать и о том, что все биномиальные ряды могут быть выражены через золотую пропорцию. Золотая монада бинома Ньютона отражает еще одно важнейшее свойство мироздания. Она является нормированной (единичной). 4. О СВЯЗИ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ С РЯДОМ ФИБОНАЧЧИ Природа как бы решает задачу сразу с двух сторон и складывает полученные результаты. Как только получает в сумме 1, то осуществляет переход в следующее измерение, где начинает строить все сначала. Но тогда она и должна строить это золотое сечение по определенному правилу. Природа не пользуется золотым сечением сразу. Она его получает путем последовательных итераций. Она для порождения золотогосечения пользуется другим рядом, - рядом Фибоначчи.

Рис.5

Рис. 6.Спираль золотого сечения и спираль Фибоначчи

Замечательным свойством этого ряда является то, что по мере увеличения чисел ряда отношение двух соседних членов этого ряда асимптотически приближается к точной пропорции Золотого сечения (1:1,618) основе красоты и гармонии в окружающей нас природе, в том числе и в человеческих отношениях . Отметим, что сам Фибоначчи открыл свой знаменитый ряд, размышляя над задачей о количестве кроликов, которые в течении одного года должны родиться от одной пары. У него получилось, что в каждом последующем месяце после второго число пар кроликов в точности следует цифровому ряду, которое ныне носит его имя. Поэтому не случайно, что и сам человек устроен по ряду Фибоначчи. Каждый орган устроен в соответствии с внутренней, или внешней двойственностью. Следует сказать, что спираль Фибоначчи может быть двойной. Существуют многочисленные примеры этих двойных спиралей, встречающихся повсюду. Так спирали подсолнухов всегда соотносятсяс рядом Фибоначчи. Даже в обычной сосновой шишке можно увидеть эту двойную спираль Фибоначчи. Первая спираль идет в одну сторону, вторая - в другую. Если посчитатьчисло чешуек в спирали, вращающейся в одном направлении, и число чешуек в другой спирали, можно увидеть, что это всегдадва последовательных числа ряда Фибоначчи. Может быть восемь в одном направлении и 13 в другом, или 13 в одном и 21 в другом . В чем разница между спиралями золотого сечения и спиралью Фибоначчи?Спираль золотого сечения идеальна. Она соответствуетПервоисточнику гармонии. Эта спираль не имеет ни начала, ни конца. Она бесконечна. Спираль Фибоначчи имеет начало, от которого она начинает “раскрутку”. Это очень важное свойство. Оно позволяет Природе после очередного замкнутого цикла осуществлять строительство новой спирали с“нуля”. Эти факты еще раз подтверждают, что закон о двойственности дает не только качественные, но и количественные результаты. Они заставляют задуматься о том, что окружающий нас Макромир и Микромир эволюцирует по одним и тем же законам- законам иерархии, и что эти законы едины для живой и для неживой материи. Закон двойственности является виновником того, что Иерархия, имея в своем багаже только один этот алгоритм формирования инвариантных оболочек, позволяет строить производящие функции этих оболочек, строить Единый Периодический ЗаконЭволюции Материи . Пусть мы имеемследующую производящую функцию При n=1 мы будем иметь производящуюфункцию вида и т.д.Теперь попробуем определять очередной член производящей функции по рекуррентной зависимости, полагая, чтоэтот член функции будет получаться путем суммирования ее двух последних членов. Например,при n=1, значение третьего члена ряда будет равно 2. В итоге мы получимряд (1-1х+2х2). Тогда,умножаяпроизводящую функцию на оператор (1-х) и используя рекуррентную зависимость для вычисления очередного члена ряда, мы и получимискомую производящую функцию. Обозначая через значение n-го члена ряда, а через предыдущее значение этого ряда и полагая n=1,2,3,….процесс последовательного формирования членов ряда можноизобразить следующимобразом (табл. 1).

Таблица 1.

Из таблицы видно, что после получения очередного результирующего члена ряда, этот член подставляется в исходный многочлен и производится сложение с предыдущим, затем новый результирующий член подставляется в исходный ряд и т. д. В результате мыполучаемряд Фибоначчи. Из таблицы непосредственно видно, что ряд Фибоначчи обладает свойством инвариантности относительно оператора (1-х) -онформируется какряд, получаемый в результате умножения ряда Фибоначчи на оператор (1-х), т.е.производящая функция ряда Фибоначчи при умножении на оператор (1-х) порождает саму себя. И это замечательное свойство также является следствием проявления закономерности о двойственности. Действительно в , , было показано, что многократное применение оператора вида(1+х) оставляет структурумногочлена неизменной, а ряд Фибоначчи обладает дополнительным,ещеболее замечательными свойствами: каждый член этого ряда является суммой двух его последних членов.Поэтому Природе не надо помнить сам ряд Фибоначчи. Надо только помнить последние два члена ряда и оператор видаP*(x )=(1-x), ответственного за данный алгоритмудвоения, чтобы получать без ошибки ряд Фибоначчи. Но почемув Природеименно этот ряд играет решающую роль?На этот вопрос может дать исчерпывающий ответ концепция тройственности, определяющая условия ее самосохранения. При нарушении «баланса интересов»триады одним из ее «партнеров», «мнения» двух других «партнеров» должны быть скорректированы. Особенно наглядно концепция тройственности проявляется в физике, где из кварков построили «почти» все элементарные частицы.Если вспомнить, что отношения дробных зарядов кварковых частиц составляют ряд , а это и есть первые члены ряда Фибоначчи, которые необходимы дляформирования других элементарных частиц. Возможно, что спираль Фибоначчи может играть решающую роль и в формировании закономерности ограниченности и замкнутости иерархических пространств. Действительно, представим, что на каком-то этапе эволюции спираль Фибоначчи достигла совершенства (она стала неотличима отспирали золотого сечения) и по этой причине частица должнатрансформироваться в следующую «категорию». Чудесные свойства ряда Фибоначчи проявляются и в самих числах, являющихся членами этого ряда.Расположим члены ряда Фибоначчи по вертикали., а затемвправо, в порядке убывания, запишем натуральные числа

1 2 32 543 8765 13 12 11 1 1 098 21 20 19 18 17 16 1514 13 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 ....

Каждая строчка начинается и завершается числом Фибоначчи, т. е. в каждой строчке всего два таких числа. Подчеркнутые числа - 4, 7, 6, 11, 10, 18, 16, 29, 26, 47, 42обладают особыми свойствами (второй уровень иерархии ряда Фибоначчи):

(5-4)/(4-3)= 1/1 (8-7)/(7-5) = 1/2 и(8-6)/(6-5)= 2/1 (13-11)/(11-8) = 2/3 и (13-10)/(10-8) = 3/2 (21-18)/(18-13) = 3/5 и (21-16)/(1б-13) = 5/3 (34-29)/(29-21) = 5/8 и (34-26)/(26-21) = 8/5 (55-47)/(47-34) = 8/13 и (55-42)/(42-34) = 13/8

Мы получили дробный ряд Фибоначчи, который, возможно,«исповедуют» коллективные спиныэлементарных частиц и атомов химических элементов. Следующий уровень иерархии образуется в результате дробления интервалов между числами Фибоначчи и выделенными числами. Например, на третью ступень иерархии встанут числа 52 и 50 из интервала 55-47. Процесс стр уктурирования ряда натуральных чисел может быть продолжен, т.к.свойствапериодичности и многоуровневости строения материи отражается даже в свойствах самого ряда Фибоначчи. Но у ряда Фибоначчи имеется еще одна тайна, вскрывающая сущность периодичности изменения свойств дв ойственного отношения (монады). Выше был определен диапазон изменения свойств дв ойственного отношения, характеризующего его норму самодостаточности U=<2/3, 1) Построим для данного диапазона ряд Фибоначчи L==<(-1/3), 0+(-1/3), (-1/3)+(-1/3), (-1/3)+(-2/3) >= <-1/3, -1/3, -2/3, -3/3>

Мы получим L -тетраэдр, характеризующий возрастающую спираль эволюции двойственного отношения. Продолжим этот процесс. Попытка выйти за пределы данного диапазона нормы самодостаточности приведет к его нормированию, т.е. первым элементом в D -тетраэдре будет характеризоваться нормой самодостаточности, равной 1,0 . Но, продолжая далее этот процесс, мы будем вынуждены постоянно производить перенормировку. Следовательно, эволюция не может продолжаться? Но, в самом вопросе имеется и ответ. После перенормировки эволюция должна начаться сначала, но в противоположную сторону, т.е. при формировании "параллельного" D-тетраэдра должен измениться знак числа и ряд Фибоначчи начинает обратное движение.

D==<(1/3), 0+(1/3), (1/3)+(1/3), (1/3)+(2/3) >= <1/3, 1/3, 2/3, 3/3>

Тогда общий ряд , характеризующий норму самодостаточности "звездного тетраэдра" будет характеризоваться соотношениями

U==const

Устойчивое состояние звездного тетраэдра будет зависеть от соответствующего сопряжения L- и D- тетраэдров. При U=1 будем иметь куб. При U=2/3 мы получим самодостаточный звездный тетраэдр, с самодостаточными L- и D- тетраэдрами. При меньших значениях устойчивое состояние звездного тетраэдра будет достигаться только совместными усилиями L- и D- тетраэдрами. Очевидно, что в этом случае минимальное значение нормы самодостаточности звездного тетраэдра будет равно U=1/3, т.е. два н е самодостаточных тетраэдра совместными усилиями образуют самодостаточный звездный тетраэдр U. В самом общем случае устойчивые состояния звездного тетраэдра U можно проиллюстрировать, например, следующей схемой.

Рис. 7

На последнем рисунке приведена фигура, напоминающая мальтийский крест, с восемью вершинами. т .е. эта фигура снова навевает ассоциации со звездным тетраэдром.

О чудесных свойствах ряда Фибоначчи, о его периодичности свидетельствует следующая информация ( Михайлов Владимир Дмитриевич,« Живая информационная Вселенная», 2000 г., Россия, 656008, г. Барнаул, ул. Партизанская дом. 242).

с.10. "Законы «золотой пропорции», «золотого сечения» связаны с цифровым рядом Фибоначчи, открытого в 1202 году, является направлением в теории кодирования информации. За многовековую историю познания чисел Фибоначчи, образуемый его членами отношения (числа) и их различные инварианты скрупулезно изучены и обобщены, но так полностью и не расшифрованы. Математическая последовательность ряда чисел Фибоначчи представляет из себя последовательность чисел, где каждый последующий член ряда, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233… до бесконечности. …Цифровой код цивилизации можно определить с помощью различных методов в нумерологии. Например, с помощью приведения сложных чисел к однозначным (к примеру: 13 есть (1+3)=4, 21 есть (2+3)=5 и т.д.) Проводя подобную процедуру сложения со всеми сложными числами ряда Фибоначчи, получим следующий ряд из 24 цифр: 1 ,1 ,2 ,3 ,5 ,8 ,4 ,3 ,7 ,1 ,8 ,9 ,8 ,8 ,7 ,6 ,4 ,1 ,5 ,6 ,2 ,8 ,1 ,9 далее сколько не преобразовывай числа в цифры, через 24-ре цифры цикл будет последовательно повторяться бесконечное количество раз… …не является ли набор из 24 цифр своеобразным цифровым кодом развития цивилизации? С.17 Если Пифагорийскую Четверку в последовательности 24-х цифр Фибоначчи разделить между собой (как бы переломить) и наложить друг на друга, то возникает картина взаимоотношений 12-ти дуальностей противоположных цифр, где каждая пара цифр в сумме дает 9-ку (дуальность , рождающая троичность)....

1 1 8 =9 2 1 8 =9 3 2 7 =9 4 3 6 =9 5 5 4 =9 6 8 1 =9 7 4 5 =9 8 3 6 =9 9 7 2 =9 10 1 8 =9 11 8 1 =9 12 9 9 = 18=1+8=9 (моя редакция)

1 1 1 1 75025

2 1 1 1 75025 3 2 2 2 150050 4 3 3 3 225075 5 5 5 5 375125 6 8 8 8 600200 7 4 1+3 13 4 975325 8 3 2+1 21 3 1575525 9 7 3+4 34 7 2550850 10 1 5+5=10=1 55 1 4126375 11 8 8+9=17=1+7 89 8 6677225

12 9 1+4+4 144 9 10803600

13 8 2+3+3 233 8 17480825 14 8 3+7+7=17=1+7=8 377 8 28284425 15 7 6+1+0=7 610 7 45765250 16 6 9+8+7=24=2+4=6 987 6 74049675 17 4 1+5+9+7=22=2+2=4 1597 4 119814925 18 1 2+5+8+4=19+1+9=10=1 2584 1 193864600 19 5 4+1+8+1=14=1+4=5 4181 5 313679525 20 6 6+7+6+5=24=2+4=6 6765 6 507544125 21 2 1+0+9+4+6=20=2 10946 2 821223650 22 8 1+7+7+1+1=17=1+7=8 17711 8 1328767775 23 1 2+8+6+5+7=28=2+8=10=1 28657 1 2149991425

24 9 4+6+3+6+8=27+2+7=9 46368 9 3478759200"

Данная информация свидетельствует о том, что все "дороги ведут в Рим", т.е. множество периодически повторяющихся случайностей, совпадений. м истификаций и т.д., сливаясь в единый поток, с неизбежностью приводят к выводу о существовании периодической закономерности, отражаемой в ряде Фибоначчи. А теперь рассмотрим еще одно, быть может, самое замечательное свойства ряда Фибоначчи. На странице "Монадные формы " мы отмечали, что существует всего пять уникальных форм, имеющих первостепенное значение. Они называются Платановыми телами. Любое Платоново тело имеет некоторые особые характеристики. Во-первых , все грани такого тела равны по размеру. Во-вторых , ребра Платонова тела - одной длины. В-третьих , внутренние углы между его смежными гранями равны. И, в-четвертых, будучи вписанным в сферу, Платоново тело каждой своей вершиной касается поверхности этой сферы. Рис. 8 Есть только четыре формы помимо куба (D), имеющие все эти характеристики. Второе тело (В) - это тетраэдр (тетра означает «четыре»), имеющий четыре грани в виде равносторонних треугольников и четыре вершины. Еще одно тело (C) - это октаэдр (окта означает «восемь»), восемь граней которого - это равносторонние треугольники одинакового размера. Октаэдр содержит 6 вершин. Куб имеет 6 граней и восемь вершин. Два других Платоновых тела несколько сложнее. Одно (E) называется икосаэдр, что означает «имеющий 20 граней», представленных равносторонними треугольниками. Икосаэдр имеет 12 вершин. Другое (F) называется додекаэдр (додека - это «двенадцать»). Его гранями являются 12 правильных пятиугольников. Додекаэдр имеет двадцать вершин. Эти тела обладают замечательными свойствами быть вписанными все всего в две фигуры - сферу и куб. Подобная взаимосвязь с Платоновыми телами прослеживается во всех сферах. Так, например, системe орбит планет солнечной системы можно представить в виде вложенных друг в друга Платоновых тел, вписанных в соответствующие сферы, которые и определяют радиусы орбит соответствующих планет солнечной системы. Фаза А (рис. 8) характеризует начало эволюции монадной формы. А потому эта форма является как бы самой простой (сферой). Затем рождается тетраэдр, и т.д. Куб, расположен в этой гексаде напротив сферы и потому он обладает сходными свойствами. Тогда свойствами, сходными с тетраэдром должны обладать монадная форма, расположенная в гексаде напротив тетраэдра. Это икосаэдр. Формы додекаэдра должны быть «родственны» октаэдру. И, наконец, последняя форма снова становится сферой. Последняя становится первой! Кроме того, в гексаде должна наблюдаться преемственность эволюции двух соседних Платоновых тел. И, действительно, октаэдр и куб, икосаэдр и додекаэдр взаимны. Если у одного из этих многогранников соединить отрезками прямых центры граней, имеющих общее ребро, то получится другой многогранник. В этих свойствах кроется их эволюционное происхождение друг от друга. В Платоновой гексаде можно выделить две триады: «сфера-октаэдр-икосаэдр» и «тетраэдр-куб-додекаэдр», наделяющие соседние вершины собственных триад свойствами взаимности. Эти фигуры обладают еще одним замечательным качеством. Они связаны крепкими узами с рядом Фибоначчи -<1:1:2:3:5:8:13:21:...>, в котором каждый последующий член равен сумме двух предыдущих. Вычислим разности между членами ряда Фиббоначи и числом вершин в Платоновых телах :

· 2=2-А=2-2=0 (нулевой "заряд"), · 3=3-В=3-4=-1 (отрицательный "заряд"), · 4=5-С=5-6=-1 (отрицательный "заряд"), · 5=8-D=8-8=0 (нулевой "заряд"), · 6=13-Е=13-12=1 (положительный "заряд"), · 7=21-F=21-20=1 (положительный "заряд"), Рис. 9

На первый взгляд может показаться, что "монадные заряды" Платоновых тел отражают как бы несоответствие идеальных форм от ряда Фибоначи . Однако, полагая, что начиная с куба, Платоновы тела могут формировать ВЕЛИКИЕ ПРЕДЕЛЫ (Великий Предел), то становится ясным, что додекаэдр и икосаэдр, отражая взаимодополнительное соответствие между число граней и числом вершин, характеризуемых числами 12 и 20, фактически выражают собой соотношения 13 и 21 ряда Фибоначчи. Посмотрите, как происходит нормирование ряда Фибоначчи. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... 12, 20, ..... 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 Первая строка отражает "нормальный" алгоритм формирования ряда Фибоначчи. Вторая строка начинается с икосаэдра, в котором 13 вершина оказалась центром структуры, отражая свойства ВЕЛИКОГО ПРЕДЕЛА. Аналогичный ВЕЛИКИЙ ПРЕДЕЛ имеется и у додекаэдра. Эти два кристалла порождают новое измерение - нормированную монаду "икосаэдр-додекаэдр", которая и начинает формировать новый виток ряда Фибоначчи (третья строка). Первые Платоновы тела как бы отражают фазу анализа, когда происходит разворачивание ВЕЛИКОГО ПРЕДЕЛА из монады (1,1). Вторая фаза -с интез новой монады и сворачивание ее в ВЕЛИКИЙ ПРЕДЕЛ. Так ряд Фибоначи порождает "золотую пропорцию", ответственную за рождение гармонии всего сущего, поэтому и Платоновы тела также будут характеризовать свойства всех материальных структур. Так, атомы всегда соотносятся с пятью Платоновыми телами. Даже если разбирать на части очень сложную молекулу, в ней можно найти более простые формы, и они всегда могут быть прослежены до одного из пяти Платоновых тел - независимо от того, какова ее структура. Не имеет значения, что это - металл, кристалл или что-то еще, - структура всегда восходит к одной из пяти первоначальных форм. Следовательно, мы приходим к выводу, что число используемых природой первозданных монадных форм является ограниченным и замкнутым. К такому же выводу пришел еще много веков назад Платон, который считал, что сложные частицы элементов имеют форму многогранников, при дроблении эти многогранники дают треугольники, которые и являются истинными элементами мира. Достигнув самой совершенной формы, природа берет эту форму в качестве элементарной и начинает строить следующие формы, используя последние в качестве «единичных» элементов. Поэтому все высшие формы неорганических, органических, биологических и полевых форм материи обязательно должны будут связаны с более простыми монадными кристаллами. Из этих форм должны строиться и самые сложные - высшие формы Высшего разума. И эти свойства монадных кристаллов должны проявляться на всех уровнях иерархии: в структуре элементарных частиц, в структуре Периодической системы элементарных частиц, в структуре атомов, в структуре Периодической системы химических элементов, и т.д. Так, в химических элементах, все подоболочки и оболочки могут быть представлены в форме монадных кристаллов. Естественно, что внутренняя структура атомов химических элементов должна отражаться в структуре кристаллов и клетках живых организмов. «Любая форма есть производное одного из пяти Платоновых тел. Без исключений. И не имеет значения, какова структура кристалла, она всегда основана на одном из Платоновых тел...» . Так в свойствах Платоновых тел отражается гармония золотого сечения и механизмы его порождения рядом Фибоначчи. И снова мы приходим к самому фундаментальному свойству ЕДИНОГО ЗАКОНА - ПЕРИОДИЧНОСТИ. Библейское "И ПОСЛЕДНИЙ СТАНОВИТСЯ ПЕРВЫМ" отражается во всех творениях мироздания. На следующем рисунке приводится схема хроматической гаммы, в которой 13-я нота находится за "границей осознанного мира", а любая соседняя пара может порождать новую хроматическую гамму (Законы Абсолюта ).
рис. 10 Данный рисунок отражает принципы, в соответствии с которыми формируется ЕДИНОЕ САМОСОГЛАСОВАННОЕ ПОЛЕ ГАРМОНИИ ВСЕЛЕННОЙ.

5. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ПРИНЦИПЫ САМООРГАНИЗАЦИИ

5.1. САМОДОСТАТОЧНОСТЬ

Принципы саморганизации (самодостаточность, саморегулирование, самовоспроизведение, саморазвитие и самонормирование ) очень тесно связаны с золотым сечением. Рассматривая принципы самоорганизации и принципы нового мышления (О новом мышлении , О глобалистике ) был обоснован вывод о том, что понятие самодостаточность определяет долю вклада собственных целевых функций в общую целевую функцию того или иного объекта окружающего мира. Если собственная доля вклада в общую целевую функцию объект будет не ниже 2/3, то такой объект будет иметь "контрольный пакет акций" целевой функции объекта и, следовательно, будет являться самодостаточным , не "марионеточным" объектом. Но 2/3=0,66..., а золотая пропорция равна 0,618... Очень близкое совпадение, или..? Вот именно ИЛИ! Поэтому более точной количественное оценкой самодостаточности можно считать пропорцию золотого сечения. Однако для практического использования мерой самодостаточности, определяющей качественное состояние объекта, живет он в гармонии с окружающим миром, или нет, оценка 2/3 является даже предпочтительнее. Глубокая взаимосвязь этого принципа с золотым сечением показана на рис. 4, на котором рукой великого мастера -Л еонардо да Винчи были приведены самые замечательные свойства золотого сечения и их взаимосвязь с ЕДИНЫМ ЗАКОНОМ. И очень жаль, что ЭТОГО НЕ ПОНИМАЮТ ЕЩЕ МНОГИЕ УЧЕНЫЕ ДАЖЕ СЕГОДНЯ. ПОЗОР!!!

5.2. САМОВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ. САМОРАЗВИТИЕ.

Из принципов построения универсальной логики ( ) следует, что бесконечномерная логика в рамках эволюции одного и того же семейства, формирует бинарную спираль.

рис. 11

В этой схеме узловые точки характеризует нисходящую спираль эволюции логического семейства бинарной спирали (правый винт). По индукции можно определить, что левый винт будет определять восходящую спираль этого семейства. Эта эволюционная бинарная спираль характеризует самовоспроизведение и саморазвитие логического семейства. Пусть мы имеем начальную логику < - i ,-1 >. Тогда, изображая оси комплексной системы отсчета в соответствии с правилом обхода тетраэдра по кресту, эволюцию логик можно отразить так, как показано на рис.12 рис. 12 Из схемы видно, что при каждом переходе от одной логики к другой, по направлению стрелок, происходит зеркальное самокопирование логики. И когда мы завершим "круг эволюции", то последняя и первая логики окажутся противоположными друг к другу. Следующая попытка приводит уже к логике бинарного удвоения, т.к. клетка оказывается занятой. В результате рождается логика, отличающаяся от первой масштабностью, вместо < -i,-1 > рождается пара < -2 i ,-2 >. Отметим, что последовательное зеркальное копирование логик приводит к их зеркальной инверсии по диагоналям. Так, по диагонали - i ,+1 мы имеем логики <- i ,-1> <+1,+ i >. Из правил обхода вершин тетраэдра по кресту мы получаем, что эти логики образуют крест в тетраэдре, если соответствующие ребра спроектировать на плоскость. П о диагонали -1,+ i мы получили взаимодополнительную пару логик <-1,- i > <+ i ,+1> , также образующую крест. На рис. 11, стороны квадратов ориентированы по направлению крещения. Поэтому противоположные стороны этого квадрата являются перекладинами креста. Отметим, что в тетраэдре существует еще и третий крест, образованной ребрами <+ i ,- i > и <-1,+1> . Но этот крест несет другие функции , о которых будет сказано в другом месте. Но схема на рис. 6 обосновывает только простое самовоспризводство логик. Оно может порождать многомерный мир "черно-белых" копий, которые могут характеризоваться только разными "оттенками". В соответствии с принципами самоорганизации логики должны иметь возможность к саморазвитию . И такая возможность реализуется (рис. 13). рис. 13 Здесь в квадрате II вначале происходит самокопирование исходной логики, а в третьем квадрате, происходит процесс саморазвития . Здесь вначале первый и второй квадрат складываются со сдвигом, а затем воспроизводятся в квадрате III . Затем полученная цепочка зеркально копируется в квадрат IV , где происходит "замыкание" цепочки. В результате рождается тетраэдр, с четырьмя вершинами, т.е. рождается комплексная логика. Так из пары <1,1> рождается пара <2,2>. Так рождается П ервый период Периодической системы логических элементов. Возьмем теперь вторую пару, состоящую из двух логических соседних подоболочек -<1,2>. расписывая эволюцию этой пары по квадратам в соответствии с вышеприведенными правилами, мы получим пару <3,3>. Присоединяя ее к начальной цепочке <1,1,2>, мы получим <1,1,2,3>/ Тогда эволюция пары <2,3> произведет пару <5,5> и, соответственно, цепочку <1,1,3,5,>. Нетрудно увидеть, что рождается ряд Фибоначчи , являющийся основой золотого сечения. И этот ряд рождается естественным образом, в основе его лежит Единый Периодический закон эволюции и вытекающие из него принципы самоорганизации (самодостаточность, саморегуляция , самовоспроизведение, саморазвитие, самонормирование ).

5.3. РЯД ФИБОНАЧЧИ И БИНАРНЫЙ РЯД

Возьмем теперь, в качестве логических пар целостную пару <2,2>. Эта пара будет характеризовать количественный состав первой логической оболочки. Тогда, в процессе ее "крещения" у нас произведется следующая бинарная пара <4,4>. Эта пара по своей структуре будет характеризовать звездный тетраэдр (или куб), имеющий восемь вершин. Мы получили первую подоболочку второго периода. Удвоение этих подоболочек даст пару <8,8>, эволюция которой приведет к паре <16,16>, а далее к паре <32,32>. Соединяя полученные бинарные пары в единую цепочку, мы получаем ряд <2, 8,16,32>. Именно такая последовательность характеризует количественный состав оболочек Периодической системы химических элементов. Таким образом, единство ряда Фибоначчи и бинарного ряда является неоспоримым фактом. Периодическая система химических элементов, бинарный ряд, ряд Фибоначчи и золотое сечение оказываются тесно взаимосвязанными.
Рис. 14 Из последней схемы видно, что производящие функции этих рядов еще и тесно взаимосвязаны с биномом Ньютона (1-х) - n .

Между рядом Фибоначчи и бинарным рядом также существует прямая связь (рис. 4)

Рис. 15

На этом рисунке видно, как из исходного соотношения (1-1-2), используя бинарный ряд, выстраивается весь ряд Фибоначчи. Эту схему приводит в своей книге Д. Мельхиседек ("Древняя тайна Цветка Жизни", том. 2, стр.283). Этот рисунок показывает семейное дерево трутня пчелы. Мельхиседек подчеркивает, что ряд Фибоначчи (1-1-2-3-5-8-13-...) является женским рядом, в то время как бинарный ряд (1-2-4-8-16-32-...) является мужским. И это правильно (Генная память , Информация , О времени ) . На указанных страницах приводится обоснование того, что генная память, возрождая Прошлое , или синтезируя Будущее, формирует именно бинарный ряд и именно по закону, приведенному на рисунке 4.

6. О ДРУГИХ СВОЙСТВАХ РЯДА ФИБОНАЧЧИ

Всем известно, что ритмы (волны) пронизывают всю нашу жизнь. Поэтому всеобщность пропорции золотого сечения необходимо проиллюстрировать и на примере волновых колебаний. Рассмотрим гармонический процесс колебаний струны (http://ftp.decsy.ru/nanoworld/index.htm ). На струне могут создаваться стоячие волны основной и высших гармоник (обертонов). Длины полуволн гармонического ряда соответствуют функции 1/ n , где n – натуральное число. Длины полуволн могут быть выражены в процентах от длины полуволны основной гармоники: 100%, 50%, 33%, 25%, 20%... В случае воздействия на произвольный участок струны будут возбуждаться все гармоники с различными амплитудными коэффициентами, которые зависят от координаты участка, от ширины участка и от частотно-временных характеристик воздействия. Учитывая разные знаки фаз четных и нечетных гармоник, можно получить знакопеременную функцию, которая выглядит приблизительно следующим образом: Если точку закрепления принять за начало отсчета, а середину струны за 100%, то максимум восприимчивости по 1-ой гармонике будет соответствовать 100%, по 2-й – 50%, по 3-ей – 33% и т.д. Посмотрим, где будет наша функция пересекать ось абсцисс. 62%, 38%, 23.6%, 14.6%, 9%, 5.6%, 3.44%, 2.13%,1.31%, 0.81%, 0.5%, 0.31%, 0.19%, 0.12%, ... Это пропорция золотого вурфа , под которым понимают последовательный ряд отрезков, когда смежные отрезки находятся в отношении золотого сечения. Каждое следующее число в 0.618 раз отличается от предыдущего. Получилось следующее: Возбуждение струны в точке, делящей ее в отношении золотого сечения на частоте близкой к основной гармонике, не вызовет колебаний струны, т.е. точка золотого сечения – это точка компенсации, демпфирования. Для демпфирования на более высоких частотах, к примеру, на 4-ой гармонике, точку компенсации нужно выбрать в 4-ом пересечении функции с осью абсцисс. Таким образом, периодичность изменения свойств двойственного отношения оказывается связана с нормой самодостаточности, рядом Фибоначчи, а также и со свойствами звездного тетраэдра, отражающего принцип восходящей и нисходящей спирали. Поэтому можно сказать, что тайны Золотого сечения, тайны ряда Фибоначчи, тайны их всеобщности в мире живой и неживой Природы больше не существует. Золотое сечение и ряд Фибоначчи отражают самую фундаментальную закономерность Иерархии - закономерность двойственности, а сам ряд Фибоначчиотражает не только одну из главных форм проявления этой закономерности -т риединство, но и характеризует нормы самодостаточности двойственного отношения в процессе его эволюции. 7. О СЛОЖНОМ ОТНОШЕНИИ Рассмотренные выше свойства золотого сечения и ряда Фибоначчи и их взаимосвязь, позволяют высказать предположение о связи с Единым законом эволюции двойственного отношения еще одного замечательного отношения, которое в проективной геометрии известно как сложное отношение точек ABCD . Рис. 16 Это число обладает тем свойством, что оно в точности одно и то же как. д ля изображения, так и для оригинала. Если вам нужно вычислить х , то не играет роли, измеряете ли вы расстояние на изображении или на самом участке. Фотокамера может обмануть. Она обманывает, когда выдает равные длины за неравные и прямые углы за непрямые. Единственное, что она не искажает,- это выражение Зн ачение этого выражения может быть найдено прямо из фотографии. И все, что можно с уверенностью утверждать, пользуясь свидетельством фотографии, может быть выражено в терминах таких величин. Обычно, в качестве сокращенной записи сложного отношения используется символ ABCD . Перерисуем теперь схему сложного отношения в пространственном виде Рис. 17 Известно, что золотое сечение выражается пропорцией где числитель является меньшим числом, а знаменатель-большим . Применительно к рисунку 17 золотая пропорция будет отражаться в треугольнике ABC , например, векторной суммой AB = BC + CA . Если углы между катетами будут равны нулю, то получим деление отрезка пополам. Если угол равен π / 2, то получим прямоугольный треугольник со сторонами 1, Ф , Ф 0,5 ; Следовательно, мы имеем исходное уравнение Ф 2 -Ф=1, записанное в векторной форме -г ипотенуза является единицей, а катеты являются ортогональными друг к другу, что и отражается в уравнении золотого сечения. При любом другом угле описываются некие замкнутые пространства. Сравнение рисунков 16 и 17 показывает также, что прямая линия (рис.16), порождающая сложное отношение, трансформируется в ломаную , и сложное отношение порождается процессом " обхода по кресту ". При этом Последняя вершина ломаной линии замыкается на П ервую . В результате мы получаем уже известное из животворящего креста

Рис. 18

правило рычага- "выигрываешь в силе, проигрываешь в расстоянии": - умножение перекладин креста и деление на длину плеч, определяющих переход с одной перекладины на другую. При построении этих более сложных отношений необходимо учитывать, что в формировании сложного отношения, точно также, как и в ряде Фибоначчи, участвуют только две соседних вершины ломаной линии. Это правило рычага, с использованием золотого сечения можно записать в следующем виде . А теперь мы можем построить сложное отношение на тетраэдре, учитывая, что расстояния от всех вершин пирамиды до точки О одинаково.

Рис. 19

Из рисунков 14-19 можно понять и принципы построения более сложных отношений, для пространств с большей мерностью, т.е. можно сказать, что n -мерное сложное отношение отражает процесс формирования монадного кристалла n -мерности и потому "упражнения" по формированию более сложных отношений могут иметь самостоятельный интерес (Сложное отношение ). Но все значения сложного отношения х , (1/х ), (х-1)/х , х /(х-1), 1/(1-х), (1-х), х ,... являются частями уравнения золотого сечения х 2 - х - 1 =0 или х (х -1) =1. 7. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ Рассмотренные выше свойства золотого сечения и, в первую очередь, свойства сложного отношения позволяют говорить о том, что золотое сечение формирует главный закон мироздания, отражающий в себе главный закон сохранения- закон сохранения золотого сечения . Соотношения x =0,618..., 1 / x =1,618, 1-1/ x =-0,618..., 1/(1-1/ x )=-1,618,.... образуют бесконечный ряд, в котором первые четыре значения образуют крест золотого сечения. При этом всякий раз, когда получается величина, большая значения золотого сечения, то происходит нормировка ОБЪЕКТа . От него вычленяется единица и процесс эволюции продолжается! Однако для пятого и шестого значений мы получаем значения " -2,616 " и " -0,382 ", после чего процесс начинается с начала. Полученный бесконечный ряд значений 0,618 и 1,618 является причиной, по которой золотое сечение лежит в основе гармонии мира. Закон сохранения (Законы сохранения) золотого сечения можно продемонстировать во вращающемся кресте (свастике). Ниже, на странице, вскрывающей тайны информации (Информация , О времени) будут показано, что золотое сечение, генная память лежат в основе самого понятия информации, о природных механизмах эволюции монады "ОБРАЗ-ПОДОБИЕ" во ВРЕМЕНИ. Таким образом, сущность нормирования сводится к получению пропорций золотого сечения, т.е. все чудесные свойства сложного отношения четырех точек определяются свойствами животворящего креста, что сложное отношение тесно взаимосвязано с золотым сечением, формируя закон сохранения золотого сечения. РЕЗЮМЕ 1. Ни у кого уже не возникает сомнений, что золотое сечение лежит в основе гармонии мироздания, а ряд Фибоначчи порождает эту замечательную пропорцию. Дополнительную информацию о свойствах золотого сечения любознательные читатели могут получить на сайте www. goldenmuseum . com . Эта поистине золотая пропорция имеет такое множество замечательных свойств, что открытие новых свойств уже ни у кого не вызывает удивления.

Библиографическое описание: Максименко О. В., Пастор В. С., Ворфоломеева П. В., Мозикова К. А., Николаева М. Е., Шмелева О. В. К понятию о Золотом сечении // Юный ученый. — 2016. — №6.1. — С. 35-39..03.2019).



«Геометрия владеет двумя сокровищами:

одно из них - теорема Пифагора,

другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении»

Иоганн Кеплер

Ключевые слова: золотое сечение, золотые пропорции, научный феномен.

Целью нашей работы является исследование источников информации, касающихся «Золотого сечения» в различных областях знаний, выявление закономерностей и нахождение связей между науками, выявление практического смысла Золотого сечения.

Актуальность данного исследования определяется многовековой историей использования золотого сечения в математике и искусстве. То, над чем ломали голову древние, остается актуальным и вызывающим интерес современников.

Во все времена люди пытались находить закономерности в окружающем их мире. Окружали себя предметами «правильной» с их точки зрения формы. Лишь с развитием математики людям удалось измерить «золотое соотношение», которое впоследствии получило название «Золотое сечение».

Золотое сечение - гармоническая пропорция

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или, другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему (Рис.1).

a : b = b : c

Рис. 1. Деление отрезка по золотым пропорциям

Напомним Вам, что же такое золотое сечение. Наиболее емкое определение золотого сечения гласит, что меньшая часть относится к большей, как большая ко всему целому. Приблизительная его величина - 1,6180339887. В округленном процентном значении пропорции частей целого будут соотноситься как 62 % на 38 %. Это соотношение действует в формах пространства и времени .

Золотой треугольник и прямоугольник

Кроме деления отрезка на неравные части (золотое сечение) рассматривают золотой треугольник и золотой прямоугольник .

Золотой прямоугольник - это прямоугольник, длины сторон которого находятся в золотой пропорции (Рис.2).

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения (Рис.3).

Рис.2. Золотой прямоугольник

Рис.3 Золотой треугольник

Пентакль

В правильной пятиконечной звезде, каждый сегмент делится пересекающим его сегментом в золотом сечении, т. е. отношение синего отрезка к зелёному, красного к синему, зелёного к фиолетовому, равны 1.618 (Рис.4).

Рис.4. Пентаграмма-гигиея

Пифагор утверждал, что пентаграмма, или, как он ее называл, гигиея представляет собой математическое совершенство, так как скрывает в себе золотое сечение. Отношение синего отрезка к зелёному, красного к синему, зелёного к фиолетовому и есть золотая пропорция.

Ряд Фибоначчи

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т. д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих , а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления.

Так, 21: 34 = 0,617

34: 55 = 0,618.

История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввёл в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н. э.). Есть предположение, что Пифагор своё знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Золотые пропорции в частях тела человека

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования».

Цейзинг измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон (Рис.5).

Рис.5 Золотые пропорции в частях тела человека

Золотое сечение в живой природе

Удивительно, как всего одно математическое понятие встречается во многих разделах человеческого знания. Оно как бы пронизывает все в мире, соединяя между собой гармонию и хаос, математику и искусство .

В биологических исследованиях было показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38 (Рис.6).

Рис.6 Золотые пропорции в частях тела ящерицы

Золотое сечение в архитектуре

В книгах о “золотом сечении” можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими “золотое сечение”, то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. “Золотое сечение” дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (Рис.7). Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по “золотому сечению”, то получим те или иные выступы фасада.

Другим примером из архитектуры древности является пирамида Хеопса (Рис.8).

Пропорции Великой Пирамиды выдержаны в " Золотом соотношении»

Древние строители ухитрились возвести этот величественный монумент практически с идеальной инженерной точностью и симметричностью.

Рис.7. Парфенон

Рис.8. Пирамида Хеопса

Золотое сечение в скульптуре

Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях. Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям (Рис.9).

Рис.9 Статуя Аполлона Бельведерского

Золотое сечение в живописи

Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Посмотрим внимательно на картину «Джоконда». Композиция портрета построена на золотых треугольниках (Рис.10).

Рис.10 Леонардо да Винчи «Джоконда»

Еще один пример золотого сечения в живописи – это полотно Рафаэля «Избиение младенцев» (Рис.11). На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается...золотая спираль!

Рис.11. Рафаэль «Избиение младенцев»

Золотое сечение в литературных произведениях

Формы временно̀го искусства по-своему демонстрируют нам принцип золотого деления. Действует правило золотого сечения и в отдельно взятых произведениях русского классика. Так, в повести «Пиковая дама» 853 строки, а кульминация приходится на 535 строке (853:535=1,6) - это и есть точка золотого сечения.

Золотое сечение в кинокартинах

Кинорежиссер Сергей Эйзенштейн сценарий своего фильма «Броненосец Потёмкин» сознательно согласовывал с правилом золотого сечения, разделив ленту на пять частей.

Заключение

О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий - свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» - это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом ученые - от Пачоли до Эйнштейна - будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой - 1,6180339887... Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение». Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое - все подчиняется божественному закону, имя которому - «золотое сечение». Так что же такое «золотое сечение»? Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он - мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее - нет, известен. «Золотое сечение» - это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.

Литература:

1. Виленкин Н. Я., Жохов В. И. и др. Математика - 6. - М.: Мнемозина, 2015
2. Корбалан Ф. Золотое сечение. Математический язык красоты. (Мир математики Т.1). - М.: ДеАгостини, 2014
3. Тимердинг Г. Е. Золотое сечение. - М.: Либроком, 2009

Ключевые слова: золотое сечение, золотые пропорции, научный феномен .

Аннотация: Золотое сечение – это универсальное проявление структурной гармонии. Оно встречается в природе, науке, искусстве - во всем, с чем может соприкоснуться человек. Авторы статьи исследуют литературу, находят связи между науками, касающиеся Золотого сечения, выявляют практический смысл золотых пропорций.

Золотое сечение – математика

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Золотое сечение – гармоническая пропорция

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений:a: b = c: d.
Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:
на две равные части – АВ: АС = АВ: ВС;
на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
таким образом, когда АВ: АС = АС: ВС.
Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.
Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

a: b = b: c или с: b = b: а.

Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Рис. 2. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618…, если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382… Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:
x2 – x – 1 = 0.

Решение этого уравнения:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

Второе золотое сечение

Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44: 56.
Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Еделит отрезок AD в отношении 56: 44.

Рис. 3. Построение второго золотого сечения

Рис. 4. Деление прямоугольника линией второго золотого сечения

На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

Золотой треугольник

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой.

Рис. 5. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471…1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.
Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Проводим прямую АВ. От точки Аоткладываем на ней три раза отрезок Опроизвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

Рис. 6. Построение золотого треугольника

История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.
Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Рис. 7. Динамические прямоугольники

Платон (427…347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.
В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Рис. 8. Античный циркуль золотого сечения

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.
В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.
Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого).
Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».
Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.
Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).
Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».
Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).
Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов

Рис. 9. Построение шкалы отрезков золотой пропорции

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».

Рис. 10. Золотые пропорции в частях тела человека

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8: 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1: 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Рис. 11. Золотые пропорции в фигуре человека

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.

В конце XIX – начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

Ряд Фибоначчи

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618: 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16…

Обобщенное золотое сечение

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта. Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.

Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений.

Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16… на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2…, во втором – это сумма двух предыдущх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2…. Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи? А может быть, эта формула даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными свойствами?

Действительно, зададимся числовым параметром S , который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5… Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n -й член этого ряда мы обозначим через φ S (n ), то получим общую формулу φ S (n ) = φ S (n – 1) + φ S (n – S – 1).

Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 – ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили названиеS -чисел Фибоначчи.

В общем виде золотая S -пропорция есть положительный корень уравнения золотого S -сечения x S+1 – x S – 1 = 0.

Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 –знакомое классическое золотое сечение.

Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! Математики в таких случаях говорят, что золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.

Факты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, приводит белорусский ученый Э.М. Сороко в книге «Структурная гармония систем» (Минск, «Наука и техника», 1984). Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т. п) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотыхS-пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезe о том, что золотые S-сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи подтвержденной экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное значение для развития синергетики – новой области науки, изучающей процессы в самоорганизующихся системах.

С помощью кодов золотой S-пропорции можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S-пропорций с целыми коэффициентами.

Принципиальное отличие такого способа кодирования чисел заключается в том, что основания новых кодов, представляющие собой золотые S-пропорции, при S> 0 оказываются иррациональными числами. Таким образом, новые системы счисления с иррациональными основаниями как бы ставят «с головы на ноги» исторически сложившуюся иерархию отношений между числами рациональными и иррациональными. Дело в том, что сначала были «открыты» числа натуральные; затем их отношения – числа рациональные. И лишь позже – после открытия пифагорийцами несоизмеримых отрезков – на свет появились иррациональные числа. Скажем, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических позиционных системах счисления в качестве своеобразной первоосновы были выбраны натуральные числа – 10, 5, 2, – из которых уже по определенным правилам конструировались все другие натуральные, а также рациональные и иррациональные числа.

Своего рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая, иррациональная система, в качестве первоосновы, начала счисления которой выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем уравнения золотого сечения); через него уже выражаются другие действительные числа.

В такой системе счисления любое натуральное число всегда представимо в виде конечной – а не бесконечной, как думали ранее! – суммы степеней любой из золотых S-пропорций. Это одна из причин, почему «иррациональная» арифметика, обладая удивительной математической простотой и изяществом, как бы вобрала в себя лучшие качества классической двоичной и «Фибоначчиевой» арифметик.

Принципы формообразования в природе

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Рис. 12. Спираль Архимеда

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Рис. 13. Цикорий

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Рис. 15. Яйцо птицы

Великий Гете, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Это он ввел в научный обиход термин морфология.

Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды.

Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

Золотое сечение и симметрия

Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863…1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии.

Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, какстатическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

На практике при выборе формата листа (картины) часто используют «классические» пропорции сторон прямоугольника, в котором отношение меньшей стороны к большей составляет число 0,6180339, а большей к меньшей — 1,6180339. Эти числа с древнейших времён называют золотыми, а отношение величин, необходимое для их получения, известно как золотая пропорция или золотое сечение.

Основа учения о гармонии мира, выраженная в числовых отношениях, была заложена древнегреческим учёным-математиком Пифагором (VI в до н.э). Им представлено золотое сечение как одна из закономерностей, математически точно определяющая наиболее красивое и гармоничное соотношение частей целого, разделённого на две неравные половины.

На соотношении частей отрезка в пропорциях золотого сечения основано построение прямоугольника. С помощью диагоналей осуществляется членение его на составные части, при котором образуется динамика пропорциональных фигур — квадрата, прямоугольника, а также прямоугольного и равнобедренного треугольников.

Т.о., используя диагонали можно получить последовательный ряд увеличивающихся прямоугольников, с соотношением сторон — 1:√ 2, 1:√3, 1:√4, 1:√5, производных от квадрата.

При стороне √4 образуется прямоугольник с удвоенным квадратом. При стороне √3 образуется два прямоугольных треугольника, у которых общая гипотенуза является диагональю прямоугольника, равная удвоенной величине меньшего катета (т.е. стороне квадрата), и они имеют острые углы 30 и 60 градусов.

Диагональ используется и в построении последовательно увеличивающихся квадратов, создающих «динамическое» развитие их величины.

В этом построении сторона каждого последующего квадрата относится к стороне предыдущего, как диагональ квадрата к его же стороне. Эти преобразования иногда называют «активным квадратом».

Геометрическая система динамических пропорций квадрата, прямоугольника и треугольника были основой в создании архитектурных сооружений в ранний период Древнего Египта. Кроме того, в условиях примитивной техники архитектурного строительства в те далёкие времена постоянно требовалось восстановление перпендикуляра к прямой, которое осуществлялось тогда при помощи верёвки с 12 узлами. С использованием такого приспособления получался прямоугольный треугольник с отношением строно - 3:4:5, который впоследствии стали называть египетским. В настоящее время на его основе строят прямые углы и проводят перпендикуляры к концу отрезка.

С древнейших времён золотое сечение используется в практике построения различных изображений. Это способствует созданию гармоничных образов и уравновешенности пропорций во всём, что на окружает. Пропорции золотого сечения присутствуют в мамематике, и особенно в геометрии, в изобразительном искусстве, в быту и в природе, в растительном и животном мире.

Золотое сечение получило широкое развитие в математике. Так, в XVI веке итальянский учёный Фибоначчи выстроил математический ряд цифр, при котором последующее число определяет сумму двух предыдущих - 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. Кроме того, устанавливается и другая зависимость этих чисел, при которой отношение каждого последующего к предыдущему выражается числом 1,618..., а предыдущего к последующему - 0,618. Таким образом, в этом математическом ряду образуется взаимосвязь чисел, содержащая пропорции золотого сечения.

Особенно часто золотое сечение используется в геометрии при делении окружности на равные части и построении правильных многоугольников.

В звёздчатом многоугольнике - пятиконечной звезде, каждая точка пересечения её сторон делит их на две неравные части в пропорциях золотого сечения.

С древнейших времён золотое сечение применялось в различных видах изобразительного искусства - в архитектуре, вкульптуре, живописи. Парфенон - классический пример применения золотого сечения в архитектуре.

Особенно широко использовал в своём творчестве соотношение величин золотого сечения Леонардо да Винчи, которое он назвал «божественная пропорция».

Числовой гармонии золотого сечения подчиняются также античные статуи греческого искусства, отражающие пропорции идеально сложённого человеческого тела.

Золотое сечение применяют в начертании букв и цифр различного шрифта.

Золотое сечение часто используют в определении величины прямоугольника при заданной его большей или меньшей стороне. Если у прямоугольной картины задана длина (АВ), то её высоту (АС) определяют следующим построением:

Сначала из конца отрезка (В) проводят дугу, равную его половине до пересечения с перпендикуляром (АО=ОВ=ВД). Полученную точку Д соединяют прямой с другим концом отрезка (А). Затем из точки Д проводят дугу радиусом ВД до пересечения с этой прямой и отмечают точку Е. Дуга, проведённая из конца отрезка А радиусом АЕ определяет по вертикальной прямой точку С и искомую высоту картины АС.

Если задана высота картины (АС), то её длину (АВ) определяют другим построением. Сначала строят квадрат АСДЕ со стороной равной АС. Затем из середины стороны квадрата (О) проводят дугу радиусом ОД и получают на горизонтальной прямой точку В, которая определит искомую длину стороны прямоугольной картины АВ.

По прямоугольнику с золотыми пропорциями можно построить любой величинны подобный формат листа.

Для этого его накладывают на лист бумаги в один из его углов (А) и проводят в нём диагональ. Затем от точки А откладывают заданный размер горизонтальной или вертикальной стороны формата листа и через его конец проводят перпендикуляр до пересечения с диагональю, которая определит вторую сторону прямоугольника.